Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrotps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemrotps 36709
Description: Lemma for dath 36754. Rotate triangles 𝑌 = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = 𝑆𝑇𝑈 to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalemrotps.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalemrotps ((𝜑𝜓) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑))))

Proof of Theorem dalemrotps
StepHypRef Expression
1 dalem.ps . . . . 5 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
21dalemccea 36701 . . . 4 (𝜓𝑐𝐴)
31dalemddea 36702 . . . 4 (𝜓𝑑𝐴)
42, 3jca 512 . . 3 (𝜓 → (𝑐𝐴𝑑𝐴))
54adantl 482 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑐𝐴𝑑𝐴))
61dalem-ccly 36703 . . . 4 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑐 𝑌)
8 dalem.ph . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
9 dalem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
10 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
118, 9, 10dalemqrprot 36666 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
12 dalemrotps.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
1311, 12syl6reqr 2875 . . . . 5 (𝜑𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑃))
1413breq2d 5070 . . . 4 (𝜑 → (𝑐 𝑌𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑌𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
167, 15mtbid 325 . 2 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃))
171dalemccnedd 36705 . . . . 5 (𝜓𝑐𝑑)
1817necomd 3071 . . . 4 (𝜓𝑑𝑐)
1918adantl 482 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝑑𝑐)
201dalem-ddly 36704 . . . . 5 (𝜓 → ¬ 𝑑 𝑌)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑑 𝑌)
2213breq2d 5070 . . . . 5 (𝜑 → (𝑑 𝑌𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑑 𝑌𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
2421, 23mtbid 325 . . 3 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃))
251dalemclccjdd 36706 . . . 4 (𝜓𝐶 (𝑐 𝑑))
2625adantl 482 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐶 (𝑐 𝑑))
2719, 24, 263jca 1120 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑)))
285, 16, 273jca 1120 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  Atomscatm 36281  HLchlt 36368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17528  df-poset 17546  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-lat 17646  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369
This theorem is referenced by:  dalem29  36719  dalem30  36720  dalem31N  36721  dalem32  36722  dalem33  36723  dalem34  36724  dalem35  36725  dalem36  36726  dalem37  36727  dalem40  36730  dalem46  36736  dalem47  36737  dalem49  36739  dalem50  36740  dalem58  36748  dalem59  36749
  Copyright terms: Public domain W3C validator