MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs 24885
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrabs.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrabs (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrabs.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrabs.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 24867 . . . . . 6 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7 dchrabs.u . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑍)
84, 7unitss 18581 . . . . . . 7 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9 dchrabs.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sseldi 3581 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
116, 10ffvelrnd 6316 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 24875 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
139, 12mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 0)
1411, 13absrpcld 14121 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ+)
151, 3dchrrcl 24865 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
162, 4znfi 19827 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
175, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18 ssfi 8124 . . . . . . 7 (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
1917, 8, 18sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
20 hashcl 13087 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Fin → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
2221nn0red 11296 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℝ)
2322recnd 10012 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℂ)
24 ne0i 3897 . . . . . . . 8 (𝐴𝑈𝑈 ≠ ∅)
259, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
26 hashnncl 13097 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Fin → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2719, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2825, 27mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℕ)
2928nnne0d 11009 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑈) ≠ 0)
3023, 29reccld 10738 . . . 4 (𝜑 → (1 / (#‘𝑈)) ∈ ℂ)
3114, 22, 30cxpmuld 24380 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈))↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
3223, 29recidd 10740 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈))) = 1)
3332oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1))
3411abscld 14109 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ)
3534recnd 10012 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
36 cxpexp 24314 . . . . . 6 (((abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(#‘𝑈)))
3735, 21, 36syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(#‘𝑈)))
3811, 21absexpd 14125 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(#‘𝑈)))
39 cnring 19687 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
40 cnfldbas 19669 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (Base‘ℂfld)
41 cnfld0 19689 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
42 cndrng 19694 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ DivRing
4340, 41, 42drngui 18674 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
44 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4543, 44unitsubm 18591 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4639, 45mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47 eldifsn 4287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
4811, 13, 47sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
49 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
50 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
51 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
5249, 50, 51submmulg 17507 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
5346, 21, 48, 52syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
54 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
551, 2, 3, 7, 54, 50, 5dchrghm 24881 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
5621nn0zd 11424 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℤ)
577, 54unitgrpbas 18587 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
5957, 58, 51ghmmulg 17593 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (#‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝑋𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
6055, 56, 9, 59syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
615, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6261nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
632zncrng 19812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
64 crngring 18479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
667, 54unitgrp 18588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
68 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
6957, 68oddvds2 17904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈))
7067, 19, 9, 69syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈))
71 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
7257, 68, 58, 71oddvds 17887 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴𝑈 ∧ (#‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈) ↔ ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7367, 9, 56, 72syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈) ↔ ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7470, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
75 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑍) = (1r𝑍)
767, 54, 75unitgrpid 18590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7765, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7874, 77eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r𝑍))
7978fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)))
80 fvres 6164 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑈 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
8281oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
8360, 79, 823eqtr3d 2663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
847, 751unit 18579 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
85 fvres 6164 . . . . . . . . . 10 ((1r𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8665, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8753, 83, 863eqtr2d 2661 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
88 cnfldexp 19698 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈)))
8911, 21, 88syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈)))
901, 2, 3dchrmhm 24866 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
9190, 5sseldi 3581 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
92 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9392, 75ringidval 18424 . . . . . . . . . 10 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
94 cnfld1 19690 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
9544, 94ringidval 18424 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9693, 95mhm0 17264 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9791, 96syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9887, 89, 973eqtr3d 2663 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈)) = 1)
9998fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈))) = (abs‘1))
100 abs1 13971 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
10199, 100syl6eq 2671 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈))) = 1)
10237, 38, 1013eqtr2d 2661 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = 1)
103102oveq1d 6619 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈))↑𝑐(1 / (#‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
10431, 33, 1033eqtr3d 2663 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
10535cxp1d 24352 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋𝐴)))
106301cxpd 24353 . 2 (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))) = 1)
107104, 105, 1063eqtr3d 2663 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cres 5076  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cexp 12800  #chash 13057  abscabs 13908  cdvds 14907  Basecbs 15781  s cress 15782  0gc0g 16021   MndHom cmhm 17254  SubMndcsubmnd 17255  Grpcgrp 17343  .gcmg 17461   GrpHom cghm 17578  odcod 17865  mulGrpcmgp 18410  1rcur 18422  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  Unitcui 18560  fldccnfld 19665  ℤ/nczn 19770  𝑐ccxp 24206  DChrcdchr 24857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-qus 16090  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-od 17869  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-rsp 19094  df-2idl 19151  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-zn 19774  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208  df-dchr 24858
This theorem is referenced by:  dchrinv  24886  dchrabs2  24887  sum2dchr  24899  dchrisum0flblem1  25097
  Copyright terms: Public domain W3C validator