MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbasd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbasd 25009
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1 (𝑘 = 𝑥𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2 (𝑘 = 𝑦𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4 (𝑘 = (1r𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7 (𝜑𝑌 = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrelbasd (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd
StepHypRef Expression
1 dchrelbasd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
21adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3 0cnd 10071 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → 0 ∈ ℂ)
42, 3ifclda 4153 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
5 eqid 2651 . . 3 (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))
64, 5fmptd 6425 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
7 dchrval.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 dchrval.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
109zncrng 19941 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
11 crngring 18604 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
128, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
13 dchrval.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (Unit‘𝑍)
14 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1513, 14unitmulcl 18710 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
16153expb 1285 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
1712, 16sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
1817iftrued 4127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
19 dchrelbasd.6 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
2018, 19eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
21 dchrval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑍)
2221, 13unitss 18706 . . . . . . 7 𝑈𝐵
2322, 17sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
241ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
26 dchrelbasd.3 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
2726eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
2827rspcv 3336 . . . . . . . 8 ((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 → (∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐸 ∈ ℂ))
2917, 25, 28sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
3018, 29eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
31 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑘𝑈 ↔ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
3231, 26ifbieq1d 4142 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
3332, 5fvmptg 6319 . . . . . 6 (((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
3423, 30, 33syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
35 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
3622, 35sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
37 iftrue 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
3837ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
39 dchrelbasd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥𝑋 = 𝐴)
4039eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
4140rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → (∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
4235, 25, 41sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4338, 42eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
44 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑈𝑥𝑈))
4544, 39ifbieq1d 4142 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
4645, 5fvmptg 6319 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 ∧ if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
4736, 43, 46syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
4847, 38eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
49 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
5022, 49sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
51 iftrue 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈 → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
5251ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
53 dchrelbasd.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦𝑋 = 𝐶)
5453eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
5554rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈 → (∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
5649, 25, 55sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5752, 56eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
58 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑈𝑦𝑈))
5958, 53ifbieq1d 4142 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦𝑈, 𝐶, 0))
6059, 5fvmptg 6319 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 ∧ if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦𝑈, 𝐶, 0))
6150, 57, 60syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦𝑈, 𝐶, 0))
6261, 52eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
6348, 62oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
6420, 34, 633eqtr4d 2695 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
6564ralrimivva 3000 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
66 eqid 2651 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
6713, 661unit 18704 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
6812, 67syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
6922, 68sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝐵)
7068iftrued 4127 . . . . . . 7 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
71 dchrelbasd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = 1)
7270, 71eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
73 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7472, 73syl6eqel 2738 . . . . 5 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
75 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑘 = (1r𝑍) → (𝑘𝑈 ↔ (1r𝑍) ∈ 𝑈))
76 dchrelbasd.4 . . . . . . 7 (𝑘 = (1r𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
7775, 76ifbieq1d 4142 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝑍) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
7877, 5fvmptg 6319 . . . . 5 (((1r𝑍) ∈ 𝐵 ∧ if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
7969, 74, 78syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
8079, 72eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1)
81 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
8224, 41mpan9 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
8382adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
84 0cnd 10071 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ ℂ)
8583, 84ifclda 4153 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
8681, 85, 46syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
8786neeq1d 2882 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
88 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 0)
8988necon1ai 2850 . . . . 5 (if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥𝑈)
9087, 89syl6bi 243 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
9190ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
9265, 80, 913jca 1261 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
93 dchrval.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
94 dchrbas.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
9593, 9, 21, 13, 7, 94dchrelbas3 25008 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))))
966, 92, 95mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  ifcif 4119  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  1rcur 18547  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  Unitcui 18685  ℤ/nczn 19899  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-imas 16215  df-qus 16216  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zn 19903  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  dchr1cl  25021  dchrinvcl  25023  dchrptlem2  25035
  Copyright terms: Public domain W3C validator