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Theorem dchrfi 24725
Description: The group of Dirichlet characters is a finite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabl.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrfi.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrfi (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)

Proof of Theorem dchrfi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7901 . . . 4 {0} ∈ Fin
2 cnex 9874 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
4 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) ∈ V)
6 1cnd 9913 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
7 eqidd 2610 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))))
8 fconstmpt 5075 . . . . . . . . 9 (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
103, 5, 6, 7, 9offval2 6790 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘𝑓 − (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
11 ssid 3586 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
13 1cnd 9913 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14 phicl 15261 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11201 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
16 plypow 23710 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ))
18 ax-1cn 9851 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
19 plyconst 23711 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
2011, 18, 19mp2an 703 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
21 plysubcl 23727 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘𝑓 − (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℂ))
2217, 20, 21sylancl 692 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘𝑓 − (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℂ))
2310, 22eqeltrrd 2688 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∈ (Poly‘ℂ))
24 0cn 9889 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
25 neg1ne0 10976 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
26140expd 12844 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(ϕ‘𝑁)) = 0)
2726oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (0 − 1))
28 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) = (0↑(ϕ‘𝑁)))
2928oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
30 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
31 ovex 6555 . . . . . . . . . . . 12 ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6176 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1)
34 df-neg 10121 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 − 1)
3527, 33, 343eqtr4g 2668 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = -1)
3635neeq1d 2840 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0 ↔ -1 ≠ 0))
3725, 36mpbiri 246 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0)
38 ne0p 23712 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝)
3924, 37, 38sylancr 693 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝)
4030mptiniseg 5532 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0}) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})
4124, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0}) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}
4241eqcomi 2618 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0})
4342fta1 23812 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝) → ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin ∧ (#‘{𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ≤ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))))
4423, 39, 43syl2anc 690 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin ∧ (#‘{𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ≤ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))))
4544simpld 473 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin)
46 unfi 8090 . . . 4 (({0} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin) → ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin)
471, 45, 46sylancr 693 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin)
48 eqid 2609 . . . 4 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
49 eqid 2609 . . . 4 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
5048, 49znfi 19675 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
51 mapfi 8123 . . 3 ((({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin) → (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Fin)
5247, 50, 51syl2anc 690 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Fin)
53 dchrabl.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
54 dchrfi.b . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
55 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
5653, 48, 54, 49, 55dchrf 24712 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
57 ffn 5944 . . . . . . 7 (𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ → 𝑓 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5856, 57syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
59 df-ne 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑓𝑥) = 0)
60 fvex 6098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
6160elsn 4139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑓𝑥) = 0)
6259, 61xchbinxr 323 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑓𝑥) ∈ {0})
63 simpl 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
64 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6556, 63, 64syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6653, 48, 54dchrmhm 24711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
67 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑓𝐷)
6866, 67sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
6915ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
70 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
71 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
7271, 49mgpbas 18267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
73 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
74 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
7572, 73, 74mhmmulg 17355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)))
7668, 69, 70, 75syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)))
77 nnnn0 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7848zncrng 19660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
80 crngring 18330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
8281ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
83 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
84 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8583, 84unitgrp 18439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp)
8682, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp)
8748, 83znunithash 19680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
8887, 15eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0)
89 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V
90 hashclb 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V → ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ↔ (#‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ↔ (#‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0)
9288, 91sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
9392ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
94 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ≠ 0)
9553, 48, 54, 49, 83, 67, 70dchrn0 24720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
9694, 95mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9783, 84unitgrpbas 18438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
98 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
9997, 98oddvds2 17755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp ∧ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (#‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10086, 93, 96, 99syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (#‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10187ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (#‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
102100, 101breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁))
10314ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
104103nnzd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
105 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
106 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10797, 98, 105, 106oddvds 17738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁) ↔ ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
10886, 96, 104, 107syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁) ↔ ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
109102, 108mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
11083, 71unitsubm 18442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
11182, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
11273, 84, 105submmulg 17358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥))
113111, 69, 96, 112syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥))
114 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11571, 114ringidval 18275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
11684, 115subm0 17128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
117111, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
118109, 113, 1173eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
119118fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
12076, 119eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
121 cnfldexp 19547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
12265, 69, 121syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
123 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
124 cnfld1 19539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (1r‘ℂfld)
125123, 124ringidval 18275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
126115, 125mhm0 17115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
12768, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
128120, 122, 1273eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) = 1)
129128oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (1 − 1))
130 1m1e0 10939 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
131129, 130syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0)
132 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
133132oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑓𝑥) → ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
134133eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0 ↔ (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0))
135134elrab 3330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0))
13665, 131, 135sylanbrc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})
137136expr 640 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑓𝑥) ≠ 0 → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
13862, 137syl5bir 231 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ {0} → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
139138orrd 391 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑓𝑥) ∈ {0} ∨ (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
140 elun 3714 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↔ ((𝑓𝑥) ∈ {0} ∨ (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
141139, 140sylibr 222 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
142141ralrimiva 2948 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
143 ffnfv 6280 . . . . . 6 (𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↔ (𝑓 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
14458, 142, 143sylanbrc 694 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
145144ex 448 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓𝐷𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
14647, 50elmapd 7736 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓 ∈ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
147145, 146sylibrd 247 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓𝐷𝑓 ∈ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
148147ssrdv 3573 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ⊆ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
149 ssfi 8043 . 2 (((({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Fin ∧ 𝐷 ⊆ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝐷 ∈ Fin)
15052, 148, 149syl2anc 690 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172  cun 3537  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  ccnv 5027  cima 5031   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  𝑚 cmap 7722  Fincfn 7819  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794  cle 9932  cmin 10118  -cneg 10119  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213  cexp 12680  #chash 12937  cdvds 14770  ϕcphi 15256  Basecbs 15644  s cress 15645  0gc0g 15872   MndHom cmhm 17105  SubMndcsubmnd 17106  Grpcgrp 17194  .gcmg 17312  odcod 17716  mulGrpcmgp 18261  1rcur 18273  Ringcrg 18319  CRingccrg 18320  Unitcui 18411  fldccnfld 19516  ℤ/nczn 19618  0𝑝c0p 23187  Polycply 23689  degcdgr 23692  DChrcdchr 24702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-phi 15258  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-0g 15874  df-imas 15940  df-qus 15941  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-nsg 17364  df-eqg 17365  df-ghm 17430  df-od 17720  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-rnghom 18487  df-subrg 18550  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-lidl 18944  df-rsp 18945  df-2idl 19002  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zrh 19619  df-zn 19622  df-0p 23188  df-ply 23693  df-idp 23694  df-coe 23695  df-dgr 23696  df-quot 23795  df-dchr 24703
This theorem is referenced by:  sumdchr2  24740  dchrhash  24741  rpvmasum2  24946  dchrisum0re  24947
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