MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrghm 25178
Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of ℤ/n is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrghm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrghm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrghm.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrghm.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrghm.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
dchrghm.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrghm (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))

Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrghm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrghm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
41, 2, 3dchrmhm 25163 . . . . 5 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
5 dchrghm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
64, 5sseldi 3740 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
71, 3dchrrcl 25162 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnnn0d 11541 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
102zncrng 20093 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
12 crngring 18756 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
14 dchrghm.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑍)
15 eqid 2758 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
1614, 15unitsubm 18868 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍)))
1713, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍)))
18 dchrghm.h . . . . 5 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
1918resmhm 17558 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍))) → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
206, 17, 19syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
21 cnring 19968 . . . . 5 fld ∈ Ring
22 cnfldbas 19950 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
23 cnfld0 19970 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
24 cndrng 19975 . . . . . . 7 fld ∈ DivRing
2522, 23, 24drngui 18953 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
26 eqid 2758 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2725, 26unitsubm 18868 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
29 df-ima 5277 . . . . 5 (𝑋𝑈) = ran (𝑋𝑈)
30 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
311, 2, 3, 30, 5dchrf 25164 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
3230, 14unitss 18858 . . . . . . . . . 10 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
3332sseli 3738 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑈𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
34 ffvelrn 6518 . . . . . . . . 9 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
3531, 33, 34syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
36 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
375adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑋𝐷)
3833adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 25172 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥𝑈))
4036, 39mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
41 eldifsn 4460 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0))
4235, 40, 41sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4342ralrimiva 3102 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 ffun 6207 . . . . . . . 8 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ → Fun 𝑋)
4531, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝑋)
46 fdm 6210 . . . . . . . . 9 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ → dom 𝑋 = (Base‘𝑍))
4731, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑋 = (Base‘𝑍))
4832, 47syl5sseqr 3793 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ dom 𝑋)
49 funimass4 6407 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋𝑈 ⊆ dom 𝑋) → ((𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0})))
5045, 48, 49syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0})))
5143, 50mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5229, 51syl5eqssr 3789 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
53 dchrghm.m . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5453resmhm2b 17560 . . . 4 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ran (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5528, 52, 54sylancr 698 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5620, 55mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀))
5714, 18unitgrp 18865 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5813, 57syl 17 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
5953cnmgpabl 20007 . . . 4 𝑀 ∈ Abel
60 ablgrp 18396 . . . 4 (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
6159, 60ax-mp 5 . . 3 𝑀 ∈ Grp
62 ghmmhmb 17870 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) → (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6358, 61, 62sylancl 697 . 2 (𝜑 → (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6456, 63eleqtrrd 2840 1 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  cdif 3710  wss 3713  {csn 4319  dom cdm 5264  ran crn 5265  cres 5266  cima 5267  Fun wfun 6041  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  cc 10124  0cc0 10126  cn 11210  0cn0 11482  Basecbs 16057  s cress 16058   MndHom cmhm 17532  SubMndcsubmnd 17533  Grpcgrp 17621   GrpHom cghm 17856  Abelcabl 18392  mulGrpcmgp 18687  Ringcrg 18745  CRingccrg 18746  Unitcui 18837  fldccnfld 19946  ℤ/nczn 20051  DChrcdchr 25154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-ec 7911  df-qs 7915  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-inf 8512  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-0g 16302  df-imas 16368  df-qus 16369  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-nsg 17791  df-eqg 17792  df-ghm 17857  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-drng 18949  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-lidl 19374  df-rsp 19375  df-2idl 19432  df-cnfld 19947  df-zring 20019  df-zn 20055  df-dchr 25155
This theorem is referenced by:  dchrabs  25182  sum2dchr  25196
  Copyright terms: Public domain W3C validator