MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem2 24943
Description: Lemma for dchrisum0flb 24944. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
dchrisum0flb.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flb.3 (𝜑𝑃𝐴)
dchrisum0flb.4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐹   𝑞,𝑏,𝑣,𝑦,𝐴   𝑁,𝑞,𝑦   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣,𝑦   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑏,𝑣,𝑦   𝑋,𝑏,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 4581 . . 3 (1 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
2 breq1 4581 . . 3 (0 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
3 1t1e1 11025 . . . 4 (1 · 1) = 1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 nnq 11636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
76adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
8 nnne0 10903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ≠ 0)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ≠ 0)
10 2z 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
12 pcexp 15351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∧ (√‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
15 eluz2nn 11561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nncnd 10886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918sqsqrtd 13975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2019oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
21 2cnd 10943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
22 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℕ)
235, 22pccld 15342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
2521, 24mulcomd 9918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))) = ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2))
2613, 20, 253eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2) = (𝑃 pCnt 𝐴))
2726oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
28 prmnn 15175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nncnd 10886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
31 2nn0 11159 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
3330, 32, 23expmuld 12831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3427, 33eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3534fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)))
3629, 23nnexpcld 12850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℕ)
3736nnrpd 11705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3837rprege0d 11714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))))
39 sqrtsq 13807 . . . . . . . . . 10 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4135, 40eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4241, 36eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
4342iftrued 4044 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
534, 16pccld 15342 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 24942 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5554adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5643, 55eqbrtrrd 4602 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
57 pcdvds 15355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
584, 16, 57syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6059, 53nnexpcld 12850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
61 nndivdvds 14776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6216, 60, 61syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6358, 62mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
6463nnzd 11316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6616adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766nnrpd 11705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6867rprege0d 11714 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6960adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
7069nnrpd 11705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
71 sqrtdiv 13803 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
7268, 70, 71syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
73 nnz 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
75 znq 11627 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7674, 42, 75syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7772, 76eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
78 zsqrtelqelz 15253 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
7965, 77, 78syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
8063adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
8180nnrpd 11705 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ+)
8281sqrtgt0d 13948 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
83 elnnz 11223 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ ↔ ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
8479, 82, 83sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ)
8584iftrued 4044 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
86 nnuz 11558 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
8763, 86syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1))
8816nnzd 11316 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8959nnred 10885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
90 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐴)
91 pcelnn 15361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
924, 16, 91syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
9390, 92mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
94 prmuz2 15195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
95 eluz2b2 11596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
9695simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
974, 94, 963syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝑃)
98 expgt1 12718 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
9989, 93, 97, 98syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
100 1red 9912 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101 0lt1 10402 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
10360nnred 10885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
10460nngt0d 10914 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10516nnred 10885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10616nngt0d 10914 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
107 ltdiv2 10761 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
108100, 102, 103, 104, 105, 106, 107syl222anc 1334 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
10999, 108mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1))
11017div1d 10645 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
111109, 110breqtrd 4604 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴)
112 elfzo2 12300 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) ↔ ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴))
11387, 88, 111, 112syl3anbrc 1239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴))
114 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
115 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (√‘𝑦) = (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
116115eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ))
117116ifbid 4058 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
118 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
119117, 118breq12d 4591 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
120119rspcv 3278 . . . . . . . 8 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) → (∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
121113, 114, 120sylc 63 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
122121adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
12385, 122eqbrtrrd 4602 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
124 1re 9896 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
125 0le1 10403 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
126124, 125pm3.2i 470 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
127126a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
12844, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 24941 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
129128, 60ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
130129adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
131128, 63ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
132131adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
133 lemul12a 10733 . . . . . 6 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
134127, 130, 127, 132, 133syl22anc 1319 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
13556, 123, 134mp2and 711 . . . 4 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1363, 135syl5eqbrr 4614 . . 3 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
137 0red 9898 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
138 0re 9897 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
139124, 138keepel 4105 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
140139a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
141 breq2 4582 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
142 breq2 4582 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
143 0le0 10960 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
144141, 142, 125, 143keephyp 4102 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)
145144a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0))
146137, 140, 129, 145, 54letrd 10046 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
147124, 138keepel 4105 . . . . . . 7 if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
148147a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
149 breq2 4582 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
150 breq2 4582 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
151149, 150, 125, 143keephyp 4102 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)
152151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
153137, 148, 131, 152, 121letrd 10046 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
154129, 131, 146, 153mulge0d 10456 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
155154adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1561, 2, 136, 155ifbothda 4073 . 2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
15760nncnd 10886 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
15860nnne0d 10915 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
15917, 157, 158divcan2d 10655 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 𝐴)
160159fveq2d 6092 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = (𝐹𝐴))
161 pcndvds2 15359 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1624, 16, 161syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
163 coprm 15210 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
1644, 64, 163syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
165162, 164mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
166 prmz 15176 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1674, 166syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
168 rpexp1i 15220 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
169167, 64, 53, 168syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
170165, 169mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
17144, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 170dchrisum0fmul 24940 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
172160, 171eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
173156, 172breqtrrd 4606 1 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  ifcif 4036   class class class wbr 4578  cmpt 4638  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932   / cdiv 10536  cn 10870  2c2 10920  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  cq 11623  +crp 11667  ..^cfzo 12292  cexp 12680  csqrt 13770  Σcsu 14213  cdvds 14770   gcd cgcd 15003  cprime 15172   pCnt cpc 15328  Basecbs 15644  0gc0g 15872  ℤRHomczrh 19615  ℤ/nczn 19618  DChrcdchr 24702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-disj 4549  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-prm 15173  df-numer 15230  df-denom 15231  df-pc 15329  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-qus 15941  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-nsg 17364  df-eqg 17365  df-ghm 17430  df-cntz 17522  df-od 17720  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-rnghom 18487  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-lidl 18944  df-rsp 18945  df-2idl 19002  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zrh 19619  df-zn 19622  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-cxp 24053  df-dchr 24703
This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  24944
  Copyright terms: Public domain W3C validator