MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem2 25243
Description: Lemma for dchrisum0flb 25244. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
dchrisum0flb.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flb.3 (𝜑𝑃𝐴)
dchrisum0flb.4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐹   𝑞,𝑏,𝑣,𝑦,𝐴   𝑁,𝑞,𝑦   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣,𝑦   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑏,𝑣,𝑦   𝑋,𝑏,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 4688 . . 3 (1 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
2 breq1 4688 . . 3 (0 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
3 1t1e1 11213 . . . 4 (1 · 1) = 1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 nnq 11839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
76adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
8 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ≠ 0)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ≠ 0)
10 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
12 pcexp 15611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∧ (√‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
15 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918sqsqrtd 14222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2019oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
21 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
22 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℕ)
235, 22pccld 15602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
2521, 24mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))) = ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2))
2613, 20, 253eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2) = (𝑃 pCnt 𝐴))
2726oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
28 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
31 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
3330, 32, 23expmuld 13051 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3427, 33eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3534fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)))
3629, 23nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℕ)
3736nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3837rprege0d 11917 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))))
39 sqrtsq 14054 . . . . . . . . . 10 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4135, 40eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4241, 36eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
4342iftrued 4127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
534, 16pccld 15602 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 25242 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5554adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5643, 55eqbrtrrd 4709 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
57 pcdvds 15615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
584, 16, 57syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6059, 53nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
61 nndivdvds 15036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6216, 60, 61syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6358, 62mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
6463nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6616adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6867rprege0d 11917 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6960adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
7069nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
71 sqrtdiv 14050 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
7268, 70, 71syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
73 nnz 11437 . . . . . . . . . . . 12 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
75 znq 11830 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7674, 42, 75syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7772, 76eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
78 zsqrtelqelz 15513 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
7965, 77, 78syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
8063adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
8180nnrpd 11908 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ+)
8281sqrtgt0d 14195 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
83 elnnz 11425 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ ↔ ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
8479, 82, 83sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ)
8584iftrued 4127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
86 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
8763, 86syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1))
8816nnzd 11519 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8959nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
90 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐴)
91 pcelnn 15621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
924, 16, 91syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
9390, 92mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
94 prmuz2 15455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
95 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
9695simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
974, 94, 963syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝑃)
98 expgt1 12938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
9989, 93, 97, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
100 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
10360nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
10460nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10516nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10616nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
107 ltdiv2 10947 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
108100, 102, 103, 104, 105, 106, 107syl222anc 1382 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
10999, 108mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1))
11017div1d 10831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
111109, 110breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴)
112 elfzo2 12512 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) ↔ ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴))
11387, 88, 111, 112syl3anbrc 1265 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴))
114 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
115 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (√‘𝑦) = (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
116115eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ))
117116ifbid 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
118 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
119117, 118breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
120119rspcv 3336 . . . . . . . 8 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) → (∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
121113, 114, 120sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
122121adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
12385, 122eqbrtrrd 4709 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
124 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
125 0le1 10589 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
126124, 125pm3.2i 470 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
127126a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
12844, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 25241 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
129128, 60ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
130129adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
131128, 63ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
132131adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
133 lemul12a 10919 . . . . . 6 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
134127, 130, 127, 132, 133syl22anc 1367 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
13556, 123, 134mp2and 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1363, 135syl5eqbrr 4721 . . 3 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
137 0red 10079 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
138 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
139124, 138keepel 4188 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
140139a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
141 breq2 4689 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
142 breq2 4689 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
143 0le0 11148 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
144141, 142, 125, 143keephyp 4185 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)
145144a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0))
146137, 140, 129, 145, 54letrd 10232 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
147124, 138keepel 4188 . . . . . . 7 if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
148147a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
149 breq2 4689 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
150 breq2 4689 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
151149, 150, 125, 143keephyp 4185 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)
152151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
153137, 148, 131, 152, 121letrd 10232 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
154129, 131, 146, 153mulge0d 10642 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
155154adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1561, 2, 136, 155ifbothda 4156 . 2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
15760nncnd 11074 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
15860nnne0d 11103 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
15917, 157, 158divcan2d 10841 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 𝐴)
160159fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = (𝐹𝐴))
161 pcndvds2 15619 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1624, 16, 161syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
163 coprm 15470 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
1644, 64, 163syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
165162, 164mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
166 prmz 15436 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1674, 166syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
168 rpexp1i 15480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
169167, 64, 53, 168syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
170165, 169mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
17144, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 170dchrisum0fmul 25240 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
172160, 171eqtr3d 2687 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
173156, 172breqtrrd 4713 1 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cq 11826  +crp 11870  ..^cfzo 12504  cexp 12900  csqrt 14017  Σcsu 14460  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432   pCnt cpc 15588  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-numer 15490  df-denom 15491  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  25244
  Copyright terms: Public domain W3C validator