Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0fmul 25240
 Description: The function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0fmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.m (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐵,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables 𝑘 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 dchrisum0fmul.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 dchrisum0fmul.m . . 3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
4 eqid 2651 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}
5 eqid 2651 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}
6 eqid 2651 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)}
7 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
8 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
10 rpvmasum.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11 dchrisum0f.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑋𝐷)
13 elrabi 3391 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℕ)
1413nnzd 11519 . . . . 5 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℤ)
1514adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑗 ∈ ℤ)
167, 8, 9, 10, 12, 15dchrzrhcl 25015 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → (𝑋‘(𝐿𝑗)) ∈ ℂ)
1711adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑋𝐷)
18 elrabi 3391 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
1918nnzd 11519 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℤ)
2019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑘 ∈ ℤ)
217, 8, 9, 10, 17, 20dchrzrhcl 25015 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
2214, 19anim12i 589 . . . 4 ((𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
2311adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑋𝐷)
24 simprl 809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
25 simprr 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
267, 8, 9, 10, 23, 24, 25dchrzrhmul 25016 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))) = ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))))
2726eqcomd 2657 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
2822, 27sylan2 490 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵})) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
29 fveq2 6229 . . . 4 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝐿𝑖) = (𝐿‘(𝑗 · 𝑘)))
3029fveq2d 6233 . . 3 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 30fsumdvdsmul 24966 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
32 rpvmasum.a . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
33 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
34 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
358, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 25239 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
361, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
378, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 25239 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
382, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
3936, 38oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))))
401, 2nnmulcld 11106 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
418, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 25239 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4331, 39, 423eqtr4rd 2696 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   · cmul 9979  ℕcn 11058  ℤcz 11415  Σcsu 14460   ∥ cdvds 15027   gcd cgcd 15263  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nℤczn 19899  DChrcdchr 25002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-imas 16215  df-qus 16216  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-dchr 25003 This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  25243
 Copyright terms: Public domain W3C validator