MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0fmul 24908
Description: The function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0fmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.m (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐵,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables 𝑘 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 dchrisum0fmul.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 dchrisum0fmul.m . . 3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
4 eqid 2605 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}
5 eqid 2605 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}
6 eqid 2605 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)}
7 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
8 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
10 rpvmasum.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11 dchrisum0f.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑋𝐷)
13 elrabi 3323 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℕ)
1413nnzd 11309 . . . . 5 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℤ)
1514adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑗 ∈ ℤ)
167, 8, 9, 10, 12, 15dchrzrhcl 24683 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → (𝑋‘(𝐿𝑗)) ∈ ℂ)
1711adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑋𝐷)
18 elrabi 3323 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
1918nnzd 11309 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℤ)
2019adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑘 ∈ ℤ)
217, 8, 9, 10, 17, 20dchrzrhcl 24683 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
2214, 19anim12i 587 . . . 4 ((𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
2311adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑋𝐷)
24 simprl 789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
25 simprr 791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
267, 8, 9, 10, 23, 24, 25dchrzrhmul 24684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))) = ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))))
2726eqcomd 2611 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
2822, 27sylan2 489 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵})) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
29 fveq2 6084 . . . 4 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝐿𝑖) = (𝐿‘(𝑗 · 𝑘)))
3029fveq2d 6088 . . 3 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 30fsumdvdsmul 24634 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
32 rpvmasum.a . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
33 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
34 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
358, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 24907 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
361, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
378, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 24907 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
382, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
3936, 38oveq12d 6541 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))))
401, 2nnmulcld 10911 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
418, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 24907 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4331, 39, 423eqtr4rd 2650 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  {crab 2895   class class class wbr 4573  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  1c1 9789   · cmul 9793  cn 10863  cz 11206  Σcsu 14206  cdvds 14763   gcd cgcd 14996  Basecbs 15637  0gc0g 15865  ℤRHomczrh 19608  ℤ/nczn 19611  DChrcdchr 24670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-ec 7604  df-qs 7608  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-0g 15867  df-imas 15933  df-qus 15934  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-nsg 17357  df-eqg 17358  df-ghm 17423  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-rnghom 18480  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-lidl 18937  df-rsp 18938  df-2idl 18995  df-cnfld 19510  df-zring 19580  df-zrh 19612  df-zn 19615  df-dchr 24671
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  24911
  Copyright terms: Public domain W3C validator