MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1 25250
Description: Lemma for dchrisum0 25254. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 fzfid 12812 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
3 fzfid 12812 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ∈ Fin)
4 elfznn 12408 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
5 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
64, 5anim12i 589 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
8 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
9 elfznn 12408 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
108, 9anim12ci 590 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
12 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1312ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1413zred 11520 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16 2z 11447 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
17 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1815, 16, 17sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1918rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
21 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
2221nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2314, 20, 22lemuldivd 11959 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
2421nnred 11073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
2515rprege0d 11917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
26 flge0nn0 12661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
30 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
31 eluznn 11796 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3229, 30, 31syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3332nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
3424, 20, 33lemuldiv2d 11960 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
3523, 34bitr3d 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
36 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
40 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4140rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
43 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
45 fllep1 12642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
47 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4847ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥𝑚)
5041, 14, 40lemul1d 11953 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥𝑚 ↔ (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5149, 50mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5239, 51eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5320, 41, 33ledivmuld 11963 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥 ↔ (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5452, 53mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥)
55 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
5655ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
5720, 32nndivred 11107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ)
58 letr 10169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
5956, 57, 41, 58syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
6054, 59mpan2d 710 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑑𝑥))
6135, 60sylbid 230 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑑𝑥))
6261pm4.71rd 668 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
63 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
6463ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 1 ≤ 𝑑)
65 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
66 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6765, 66pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
6922rpregt0d 11916 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑))
7018adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
7170rpregt0d 11916 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2)))
72 lediv2 10951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7368, 69, 71, 72syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7464, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1))
7520recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
7675div1d 10831 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 1) = (𝑥↑2))
7774, 76breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2))
78 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑑 ∈ ℕ)
79 nndivre 11094 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
8019, 78, 79syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
81 letr 10169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8214, 80, 20, 81syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8377, 82mpan2d 710 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8435, 83sylbird 250 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8584pm4.71rd 668 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
8635, 62, 853bitr3d 298 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
87 fznnfl 12701 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
8887baibd 968 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
8941, 21, 88syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
9080flcld 12639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ)
91 elfz5 12372 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9230, 90, 91syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
93 flge 12646 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9480, 13, 93syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9592, 94bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
9689, 95anbi12d 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
9720flcld 12639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ)
98 elfz5 12372 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
9930, 97, 98syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
100 flge 12646 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10120, 13, 100syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10299, 101bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
103 fznnfl 12701 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
104103baibd 968 . . . . . . . . 9 ((((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
10557, 21, 104syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
106102, 105anbi12d 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
10786, 96, 1063bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
108107ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))))
1097, 11, 108pm5.21ndd 368 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
110 ssun2 3810 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
11128adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
112 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
113111, 112syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
114 dchrisum0lem1a 25220 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))))
115114simprd 478 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
116 fzsplit2 12404 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
117113, 115, 116syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
118110, 117syl5sseqr 3687 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
119118sselda 3636 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
120 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
121 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
122 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
123 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
124 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
125 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
126124, 125eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
127 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑊)
128126, 127sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
129128eldifad 3619 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
130129ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
131 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133120, 121, 122, 123, 130, 132dchrzrhcl 25015 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
134 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
136135nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
137136rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
138137rpcnd 11912 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
139137rpne0d 11915 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
140133, 138, 139divcld 10839 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
1414adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
142141nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
143142rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
144143rpcnne0d 11919 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
145144adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
146145simpld 474 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
147145simprd 478 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
148140, 146, 147divcld 10839 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
149119, 148syldan 486 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
150149anasss 680 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
1511, 2, 3, 109, 150fsumcom2 14549 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
152151mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
15365a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154 2cn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
15515rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
156155rpcnd 11912 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
157 mulcl 10058 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
158154, 156, 157sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
159143rprecred 11921 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
1601, 159fsumrecl 14509 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
161160recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
162161, 158subcld 10430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
163 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
164 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
165 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
166164, 165sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
167166simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
168 remulcl 10059 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
169163, 167, 168sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
170169adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
171170, 155rerpdivcld 11941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
172171recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
173158, 162, 172adddird 10103 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
174158, 161pncan3d 10433 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)))
175174oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
176 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
177176, 156, 172mulassd 10101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
178170recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
179155rpne0d 11915 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
180178, 156, 179divcan2d 10841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · 𝐶))
181180oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (2 · (2 · 𝐶)))
182177, 181eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · (2 · 𝐶)))
183182oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
184173, 175, 1833eqtr3d 2693 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
185184mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))))
186 remulcl 10059 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
187163, 169, 186sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
188187recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
189188adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
190162, 172mulcld 10098 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
191 rpssre 11881 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
192 o1const 14394 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
193191, 188, 192sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
194 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))))
195194divsqrsum 24753 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟
196 rlimdmo1 14392 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
197195, 196mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
198178, 156, 179divrecd 10842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) = ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥))))
199198mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))))
200155rprecred 11921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
201169recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
202 rlimconst 14319 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
203191, 201, 202sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
204 sqrtlim 24744 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
205204a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
206170, 200, 203, 205rlimmul 14419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
207199, 206eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
208 rlimo1 14391 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
209207, 208syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
210162, 172, 197, 209o1mul2 14399 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
211189, 190, 193, 210o1add2 14398 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
212185, 211eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
213160, 171remulcld 10108 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
2143, 149fsumcl 14508 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2151, 214fsumcl 14508 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
216215abscld 14219 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
217213recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
218217abscld 14219 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
219214abscld 14219 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2201, 219fsumrecl 14509 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2211, 214fsumabs 14577 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
222171adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
223159, 222remulcld 10108 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
224119, 140syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
2253, 224fsumcl 14508 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
226225abscld 14219 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
227 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
228 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝐺)
229 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
230 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
231 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
232121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231dchrisum0lem1b 25249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))
233226, 222, 143, 232lediv1dd 11968 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) ≤ (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)))
234143rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
235143rpne0d 11915 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
236225, 234, 235absdivd 14238 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))))
2373, 234, 224, 235fsumdivc 14562 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
238237fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
239143rprege0d 11917 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)))
240 absid 14080 . . . . . . . . . . . 12 (((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
242241oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)))
243236, 238, 2423eqtr3rd 2694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
244172adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
245244, 234, 235divrec2d 10843 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)) = ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
246233, 243, 2453brtr3d 4716 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
2471, 219, 223, 246fsumle 14575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
248159recnd 10106 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2491, 172, 248fsummulc1 14561 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
250247, 249breqtrrd 4713 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
251216, 220, 213, 221, 250letrd 10232 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
252213leabsd 14197 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
253216, 213, 218, 251, 252letrd 10232 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
254253adantrr 753 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
255153, 212, 213, 215, 254o1le 14427 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
256152, 255eqeltrrd 2731 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  [,)cico 12215  ...cfz 12364  cfl 12631  seqcseq 12841  cexp 12900  csqrt 14017  abscabs 14018  cli 14259  𝑟 crli 14260  𝑂(1)co1 14261  Σcsu 14460  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  25253
  Copyright terms: Public domain W3C validator