MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1a 25220
Description: Lemma for dchrisum0lem1 25250. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1a (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋))))

Proof of Theorem dchrisum0lem1a
StepHypRef Expression
1 elfznn 12408 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) → 𝐷 ∈ ℕ)
21adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℕ)
32nnred 11073 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ)
4 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
54rpregt0d 11916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
65adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
76simpld 474 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
84adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
98rpge0d 11914 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 0 ≤ 𝑋)
104rpred 11910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 fznnfl 12701 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑋)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑋)))
1312simplbda 653 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷𝑋)
143, 7, 7, 9, 13lemul2ad 11002 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋 · 𝑋))
15 rpcn 11879 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
1716sqvald 13045 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
1817adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
1914, 18breqtrrd 4713 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2))
20 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21 rpexpcl 12919 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
224, 20, 21sylancl 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
2322rpred 11910 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
252nnrpd 11908 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
267, 24, 25lemuldivd 11959 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)))
2719, 26mpbid 222 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷))
28 nndivre 11094 . . . 4 (((𝑋↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
2923, 1, 28syl2an 493 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
30 flword2 12654 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
317, 29, 27, 30syl3anc 1366 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
3227, 31jca 553 1 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cfl 12631  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250
  Copyright terms: Public domain W3C validator