MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem2a 25251
Description: Lemma for dchrisum0 25254. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
dchrisum0lem2.u (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑎,𝑑)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝜑)
3 elfznn 12408 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
9 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
108, 9eqsstri 3668 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑊)
1210, 11sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
1312eldifad 3619 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
15 nnz 11437 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
174, 5, 6, 7, 14, 16dchrzrhcl 25015 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
18 nnrp 11880 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2019rpsqrtcld 14194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
2120rpcnd 11912 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
2220rpne0d 11915 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ≠ 0)
2317, 21, 22divcld 10839 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
242, 3, 23syl2an 493 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
251, 24fsumcl 14508 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
26 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
27 rlimcl 14278 . . . . 5 (𝐻𝑟 𝑈𝑈 ∈ ℂ)
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℂ)
30 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
31 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
32 df-ioo 12217 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
33 df-ico 12219 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
34 xrltletr 12026 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
3532, 33, 34ixxss1 12231 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
3630, 31, 35mp2an 708 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
37 ioorp 12289 . . . . . . . 8 (0(,)+∞) = ℝ+
3836, 37sseqtri 3670 . . . . . . 7 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
39 resmpt 5484 . . . . . . 7 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4138sseli 3632 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
423adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
43 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑚 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑚))
4443fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
45 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (√‘𝑎) = (√‘𝑚))
4644, 45oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
47 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
48 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) ∈ V
4946, 47, 48fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
5042, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
5141, 50sylanl2 684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
52 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
53 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
55 flge1nn 12662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5654, 55sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5756adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
58 nnuz 11761 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
5957, 58syl6eleq 2740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
6041, 24sylanl2 684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
6151, 59, 60fsumser 14505 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
6261mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
6340, 62syl5eq 2697 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
64 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑥) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
65 rpssre 11881 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
6665a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6738, 66syl5ss 3647 . . . . . . 7 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
68 1zzd 11446 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
6946cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
7047, 69eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
7123, 70fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
7271ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
7358, 68, 72serf 12869 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
7473feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)))
75 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
7674, 75eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)) ⇝ 𝑆)
7773ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ)
7854simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
7978adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
8058, 64, 67, 68, 76, 77, 79climrlim2 14322 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆)
81 rlimo1 14391 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8280, 81syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8363, 82eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
84 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
8525, 84fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))):ℝ+⟶ℂ)
86 1red 10093 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
8785, 66, 86o1resb 14341 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
8883, 87mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1))
89 o1const 14394 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
9065, 28, 89sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
9125, 29, 88, 90o1mul2 14399 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1))
92 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
93 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
94 rpexpcl 12919 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
9592, 93, 94sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
963nnrpd 11908 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
97 rpdivcl 11894 . . . . . . . 8 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
9895, 96, 97syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
99 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
10099divsqrsumf 24752 . . . . . . . 8 𝐻:ℝ+⟶ℝ
101100ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+ → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
10298, 101syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
103102recnd 10106 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℂ)
10424, 103mulcld 10098 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
1051, 104fsumcl 14508 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
10625, 29mulcld 10098 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
10726ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐻𝑟 𝑈)
108107, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℂ)
10924, 108mulcld 10098 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
1101, 104, 109fsumsub 14564 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
11124, 103, 108subdid 10524 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
112111sumeq2dv 14477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
1131, 29, 24fsummulc1 14561 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))
114113oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
115110, 112, 1143eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
116115mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))))
117103, 108subcld 10430 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈) ∈ ℂ)
11824, 117mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
1191, 118fsumcl 14508 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
120119abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
121118abscld 14219 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
1221, 121fsumrecl 14509 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
123 1red 10093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
1241, 118fsumabs 14577 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
125 rprege0 11885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
127126simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
128 reflcl 12637 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
130129, 92rerpdivcld 11941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
131 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rprecred 11921 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
13324abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
13496rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
136135rprecred 11921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℝ)
137117abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℝ)
138135, 131rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ+)
13965, 138sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ)
14024absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
141117absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)))
1422, 3, 17syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
143135rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
144135rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
145142, 143, 144absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))))
146135rprege0d 11917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)))
147 absid 14080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
149148oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
150145, 149eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
151142abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
152 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
153 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15413ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
155 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
156155nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1575, 153, 7znzrhfo 19944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
158 fof 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
159156, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
161 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℤ)
162 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
163160, 161, 162syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
1644, 6, 5, 153, 154, 163dchrabs2 25032 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 1)
165151, 152, 135, 164lediv1dd 11968 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
166150, 165eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
16799, 107divsqrtsum2 24754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16898, 167mpdan 703 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16995rprege0d 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)))
170 sqrtdiv 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)) ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
171169, 96, 170syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
172125ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
173 sqrtsq 14054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
175174oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
176171, 175eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
177176oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))))
178 rpcnne0 11888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
179178ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
180135rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
181 recdiv 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
182179, 180, 181syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
183177, 182eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
184168, 183breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ ((√‘𝑚) / 𝑥))
185133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184lemul12ad 11004 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
18624, 117absmuld 14237 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
187 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
188 dmdcan 10773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
189180, 179, 187, 188syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
190138rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℂ)
191 reccl 10730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
192180, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
193190, 192mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
194189, 193eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
195185, 186, 1943brtr4d 4717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ (1 / 𝑥))
1961, 121, 132, 195fsumle 14575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥))
197 flge0nn0 12661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
198 hashfz1 13174 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
199126, 197, 1983syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (#‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
200199oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((#‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
20192rpreccld 11920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
202201rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
203 fsumconst 14566 . . . . . . . . . . 11 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((#‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
2041, 202, 203syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((#‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
205129recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
206178adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
207206simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
208206simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
209205, 207, 208divrecd 10842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
210200, 204, 2093eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
211196, 210breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
212 flle 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
213127, 212syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
214127recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
215214mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
216213, 215breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1))
217 rpregt0 11884 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
218217adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
219 ledivmul 10937 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
220129, 123, 218, 219syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
221216, 220mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1)
222122, 130, 123, 211, 221letrd 10232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
223120, 122, 123, 124, 222letrd 10232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
224223adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
22566, 119, 86, 86, 224elo1d 14311 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
226116, 225eqeltrrd 2731 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
227105, 106, 226o1dif 14404 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1)))
22891, 227mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cres 5145  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ...cfz 12364  cfl 12631  seqcseq 12841  cexp 12900  #chash 13157  csqrt 14017  abscabs 14018  cli 14259  𝑟 crli 14260  𝑂(1)co1 14261  Σcsu 14460  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  25252
  Copyright terms: Public domain W3C validator