Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem2a 25251
 Description: Lemma for dchrisum0 25254. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
dchrisum0lem2.u (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑎,𝑑)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝜑)
3 elfznn 12408 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
9 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
108, 9eqsstri 3668 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑊)
1210, 11sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
1312eldifad 3619 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
15 nnz 11437 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
174, 5, 6, 7, 14, 16dchrzrhcl 25015 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
18 nnrp 11880 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2019rpsqrtcld 14194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
2120rpcnd 11912 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
2220rpne0d 11915 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ≠ 0)
2317, 21, 22divcld 10839 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
242, 3, 23syl2an 493 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
251, 24fsumcl 14508 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
26 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
27 rlimcl 14278 . . . . 5 (𝐻𝑟 𝑈𝑈 ∈ ℂ)
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℂ)
30 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
31 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
32 df-ioo 12217 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
33 df-ico 12219 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
34 xrltletr 12026 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
3532, 33, 34ixxss1 12231 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
3630, 31, 35mp2an 708 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
37 ioorp 12289 . . . . . . . 8 (0(,)+∞) = ℝ+
3836, 37sseqtri 3670 . . . . . . 7 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
39 resmpt 5484 . . . . . . 7 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4138sseli 3632 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
423adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
43 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑚 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑚))
4443fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
45 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (√‘𝑎) = (√‘𝑚))
4644, 45oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
47 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
48 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) ∈ V
4946, 47, 48fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
5042, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
5141, 50sylanl2 684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
52 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
53 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
55 flge1nn 12662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5654, 55sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5756adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
58 nnuz 11761 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
5957, 58syl6eleq 2740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
6041, 24sylanl2 684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
6151, 59, 60fsumser 14505 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
6261mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
6340, 62syl5eq 2697 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
64 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑥) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
65 rpssre 11881 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
6665a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6738, 66syl5ss 3647 . . . . . . 7 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
68 1zzd 11446 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
6946cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
7047, 69eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
7123, 70fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
7271ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
7358, 68, 72serf 12869 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
7473feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)))
75 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
7674, 75eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)) ⇝ 𝑆)
7773ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ)
7854simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
7978adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
8058, 64, 67, 68, 76, 77, 79climrlim2 14322 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆)
81 rlimo1 14391 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8280, 81syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8363, 82eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
84 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
8525, 84fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))):ℝ+⟶ℂ)
86 1red 10093 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
8785, 66, 86o1resb 14341 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
8883, 87mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1))
89 o1const 14394 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
9065, 28, 89sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
9125, 29, 88, 90o1mul2 14399 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1))
92 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
93 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
94 rpexpcl 12919 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
9592, 93, 94sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
963nnrpd 11908 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
97 rpdivcl 11894 . . . . . . . 8 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
9895, 96, 97syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
99 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
10099divsqrsumf 24752 . . . . . . . 8 𝐻:ℝ+⟶ℝ
101100ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+ → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
10298, 101syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
103102recnd 10106 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℂ)
10424, 103mulcld 10098 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
1051, 104fsumcl 14508 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
10625, 29mulcld 10098 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
10726ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐻𝑟 𝑈)
108107, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℂ)
10924, 108mulcld 10098 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
1101, 104, 109fsumsub 14564 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
11124, 103, 108subdid 10524 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
112111sumeq2dv 14477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
1131, 29, 24fsummulc1 14561 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))
114113oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
115110, 112, 1143eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
116115mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))))
117103, 108subcld 10430 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈) ∈ ℂ)
11824, 117mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
1191, 118fsumcl 14508 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
120119abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
121118abscld 14219 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
1221, 121fsumrecl 14509 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
123 1red 10093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
1241, 118fsumabs 14577 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
125 rprege0 11885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
127126simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
128 reflcl 12637 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
130129, 92rerpdivcld 11941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
131 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rprecred 11921 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
13324abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
13496rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
136135rprecred 11921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℝ)
137117abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℝ)
138135, 131rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ+)
13965, 138sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ)
14024absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
141117absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)))
1422, 3, 17syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
143135rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
144135rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
145142, 143, 144absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))))
146135rprege0d 11917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)))
147 absid 14080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
149148oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
150145, 149eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
151142abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
152 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
153 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15413ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
155 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
156155nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1575, 153, 7znzrhfo 19944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
158 fof 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
159156, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
161 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℤ)
162 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
163160, 161, 162syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
1644, 6, 5, 153, 154, 163dchrabs2 25032 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 1)
165151, 152, 135, 164lediv1dd 11968 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
166150, 165eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
16799, 107divsqrtsum2 24754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16898, 167mpdan 703 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16995rprege0d 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)))
170 sqrtdiv 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)) ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
171169, 96, 170syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
172125ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
173 sqrtsq 14054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
175174oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
176171, 175eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
177176oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))))
178 rpcnne0 11888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
179178ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
180135rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
181 recdiv 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
182179, 180, 181syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
183177, 182eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
184168, 183breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ ((√‘𝑚) / 𝑥))
185133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184lemul12ad 11004 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
18624, 117absmuld 14237 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
187 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
188 dmdcan 10773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
189180, 179, 187, 188syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
190138rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℂ)
191 reccl 10730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
192180, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
193190, 192mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
194189, 193eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
195185, 186, 1943brtr4d 4717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ (1 / 𝑥))
1961, 121, 132, 195fsumle 14575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥))
197 flge0nn0 12661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
198 hashfz1 13174 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
199126, 197, 1983syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (#‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
200199oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((#‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
20192rpreccld 11920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
202201rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
203 fsumconst 14566 . . . . . . . . . . 11 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((#‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
2041, 202, 203syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((#‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
205129recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
206178adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
207206simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
208206simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
209205, 207, 208divrecd 10842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
210200, 204, 2093eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
211196, 210breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
212 flle 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
213127, 212syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
214127recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
215214mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
216213, 215breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1))
217 rpregt0 11884 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
218217adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
219 ledivmul 10937 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
220129, 123, 218, 219syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
221216, 220mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1)
222122, 130, 123, 211, 221letrd 10232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
223120, 122, 123, 124, 222letrd 10232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
224223adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
22566, 119, 86, 86, 224elo1d 14311 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
226116, 225eqeltrrd 2731 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
227105, 106, 226o1dif 14404 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1)))
22891, 227mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ...cfz 12364  ⌊cfl 12631  seqcseq 12841  ↑cexp 12900  #chash 13157  √csqrt 14017  abscabs 14018   ⇝ cli 14259   ⇝𝑟 crli 14260  𝑂(1)co1 14261  Σcsu 14460  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nℤczn 19899  DChrcdchr 25002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dchr 25003 This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  25252
 Copyright terms: Public domain W3C validator