MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0re 24947
Description: Suppose 𝑋 is a non-principal Dirichlet character with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Then 𝑋 is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0re
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
6 ssrab2 3650 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
75, 6eqsstri 3598 . . . . . 6 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
8 dchrisum0.b . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
97, 8sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
109eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
111, 2, 3, 4, 10dchrf 24712 . . 3 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1211ffnd 5945 . 2 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
1311ffvelrnda 6252 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
14 fvco3 6170 . . . . . 6 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
1511, 14sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
16 logno1 24127 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
17 1red 9912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
18 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
20 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0g𝐺)
21 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
2219nnnn0d 11201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
232zncrng 19660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
25 crngring 18330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
27 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑍) = (1r𝑍)
2821, 271unit 18430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
30 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 “ {(1r𝑍)}) = (𝐿 “ {(1r𝑍)})
31 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑊) → (1r𝑍) = (1r𝑍))
322, 18, 19, 1, 3, 20, 5, 21, 29, 30, 31rpvmasum2 24946 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3419phicld 15264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
3534nnnn0d 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
38 fzfid 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
39 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
40 ssfi 8043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
4138, 39, 40sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
42 elinel1 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
43 elfznn 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4542, 44sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 vmacl 24589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
47 nndivre 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4846, 47mpancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
5041, 49fsumrecl 14261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
5137, 50remulcld 9927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
52 relogcl 24071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
54 1re 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
551, 3dchrfi 24725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
5619, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
57 difss 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
587, 57sstri 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑊𝐷
59 ssfi 8043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
6056, 58, 59sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
61 hashcl 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6362nn0red 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
64 resubcl 10197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
6554, 63, 64sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
6753, 66remulcld 9927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ)
6851, 67resubcld 10310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
6968recnd 9925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℂ)
7069adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℂ)
7152adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7271recnd 9925 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7352ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7467ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ)
7573, 74readdcld 9926 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
76 0red 9898 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
7751ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
78 2re 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ∈ ℝ)
8063ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
8179, 80resubcld 10310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
82 log1 24081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log‘1) = 0
83 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
84 1rp 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ+
85 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
86 logleb 24098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8784, 85, 86sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8883, 87mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
8982, 88syl5eqbrr 4614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
90 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋)
91 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (invg𝐺) = (invg𝐺)
921, 3, 10, 91dchrinv 24731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
931dchrabl 24724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9419, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
95 ablgrp 17970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
973, 91grpinvcl 17239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9896, 10, 97syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9992, 98eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
100 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
1019, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑋1 )
1023, 20grpidcl 17222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
10396, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑1𝐷)
1043, 91, 96, 10, 103grpinv11 17256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) = ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 = 1 ))
105104necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋1 ))
106101, 105mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ))
10720, 91grpinvid 17248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
10896, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
109106, 92, 1083netr3d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 )
110 eldifsn 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 ))
11199, 109, 110sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
112 nnuz 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℕ = (ℤ‘1)
113 1zzd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
114 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑚 → (𝐿𝑛) = (𝐿𝑚))
115114fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
116 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
117115, 116oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
118117fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
119 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))
120 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ V
121118, 119, 120fvmpt 6176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
123 nnre 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
125124cjred 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘𝑚) = 𝑚)
126125oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
12711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1282, 4, 18znzrhfo 19663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12922, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
130 fof 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
132 nnz 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
133 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
134131, 132, 133syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
135127, 134ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
136 nncn 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
138 nnne0 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
139138adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
140135, 137, 139cjdivd 13760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)))
141 fvco3 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
142127, 134, 141syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
143142oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
144126, 140, 1433eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
145122, 144eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
146135cjcld 13733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℂ)
147146, 137, 139divcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚) ∈ ℂ)
148143, 147eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
149 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
1502, 18, 19, 1, 3, 20, 10, 101, 149dchrmusumlema 24927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
151 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
1528adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝑊)
15319adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
15410adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝐷)
155101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋1 )
156 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
157 simprrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
1582, 18, 153, 1, 3, 20, 154, 155, 149, 156, 151, 157, 5dchrvmaeq0 24938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑋𝑊𝑡 = 0))
159152, 158mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑡 = 0)
160151, 159breqtrd 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
161160rexlimdvaa 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
162161exlimdv 1848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
163150, 162mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
164 seqex 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V)
166 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 = 𝑚 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑚))
167166fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
168 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
169167, 168oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
170 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
171169, 149, 170fvmpt 6176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
172171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
173135, 137, 139divcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
174172, 173eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) ∈ ℂ)
175112, 113, 174serf 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))):ℕ⟶ℂ)
176175ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘) ∈ ℂ)
177 fzfid 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1...𝑘) ∈ Fin)
178 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
179 elfznn 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
180178, 179, 173syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
181177, 180fsumcj 14332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
182178, 179, 172syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
183 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
184183, 112syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
185182, 184, 180fsumser 14257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘))
186185fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
187178, 179, 122syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
188173cjcld 13733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
189178, 179, 188syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
190187, 184, 189fsumser 14257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘))
191181, 186, 1903eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
192112, 163, 165, 113, 176, 191climcj 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ (∗‘0))
193 cj0 13695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∗‘0) = 0
194192, 193syl6breq 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ 0)
195112, 113, 145, 148, 194isumclim 14279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0)
196 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)))
197196oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
198197sumeq2sdv 14231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
199198eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
200199, 5elrab2 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊 ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
201111, 195, 200sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
202201ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
2038ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋𝑊)
204 hashprg 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊𝑋𝑊) → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 ↔ (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2))
205202, 203, 204syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 ↔ (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2))
20690, 205mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2)
20760ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑊 ∈ Fin)
208202, 203prssd 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ⊆ 𝑊)
209 ssdomg 7865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Fin → ({(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ⊆ 𝑊 → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊))
210207, 208, 209sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊)
211 hashdomi 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊 → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) ≤ (#‘𝑊))
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) ≤ (#‘𝑊))
213206, 212eqbrtrrd 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
214 suble0 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((2 − (#‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
21578, 80, 214sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((2 − (#‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
216213, 215mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) ≤ 0)
21781, 76, 73, 89, 216lemul2ad 10816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) ≤ ((log‘𝑥) · 0))
218 df-2 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 = (1 + 1)
219218oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − (#‘𝑊)) = ((1 + 1) − (#‘𝑊))
220 1cnd 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
22180recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
222220, 220, 221addsubassd 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1 + 1) − (#‘𝑊)) = (1 + (1 − (#‘𝑊))))
223219, 222syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) = (1 + (1 − (#‘𝑊))))
224223oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) = ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (#‘𝑊)))))
22572adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
22665ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
227226recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℂ)
228225, 220, 227adddid 9921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (#‘𝑊)))) = (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
229225mulid1d 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
230229oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
231224, 228, 2303eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
232225mul01d 10087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
233217, 231, 2323brtr3d 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ 0)
23434nnred 10885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
235234ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
23650ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
23735ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
238237nn0ge0d 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (ϕ‘𝑁))
23945, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
240 vmage0 24592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
24145, 240syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
24245nnred 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
24345nngt0d 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 < 𝑛)
244 divge0 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Λ‘𝑛)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
245239, 241, 242, 243, 244syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
24641, 49, 245fsumge0 14317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
247246ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
248235, 236, 238, 247mulge0d 10456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
24975, 76, 77, 233, 248letrd 10046 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
250 leaddsub 10356 . . . . . . . . . . . . . 14 (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ ∧ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
25173, 74, 77, 250syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
252249, 251mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
25373, 89absidd 13958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
25468ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
25576, 73, 254, 89, 252letrd 10046 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
256254, 255absidd 13958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
257252, 253, 2563brtr4d 4610 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) ≤ (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
25817, 33, 70, 72, 257o1le 14180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
259258ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
260259necon1bd 2800 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋))
26116, 260mpi 20 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
262261adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
263262fveq1d 6090 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (𝑋𝑥))
26415, 263eqtr3d 2646 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗‘(𝑋𝑥)) = (𝑋𝑥))
26513, 264cjrebd 13739 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
266265ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ)
267 ffnfv 6280 . 2 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ ↔ (𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ))
26812, 266, 267sylanbrc 695 1 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  cin 3539  wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4578  cmpt 4638  ccnv 5027  cima 5031  ccom 5032   Fn wfn 5785  wf 5786  ontowfo 5788  cfv 5790  (class class class)co 6527  cdom 7817  Fincfn 7819  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  +∞cpnf 9928   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118   / cdiv 10536  cn 10870  2c2 10920  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  +crp 11667  [,)cico 12007  ...cfz 12155  cfl 12411  seqcseq 12621  #chash 12937  ccj 13633  abscabs 13771  cli 14012  𝑂(1)co1 14014  Σcsu 14213  ϕcphi 15256  Basecbs 15644  0gc0g 15872  Grpcgrp 17194  invgcminusg 17195  Abelcabl 17966  1rcur 18273  Ringcrg 18319  CRingccrg 18320  Unitcui 18411  ℤRHomczrh 19615  ℤ/nczn 19618  logclog 24050  Λcvma 24563  DChrcdchr 24702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-disj 4549  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-rpss 6813  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-o1 14018  df-lo1 14019  df-sum 14214  df-ef 14586  df-e 14587  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-prm 15173  df-phi 15258  df-pc 15329  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-qus 15941  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-nsg 17364  df-eqg 17365  df-ghm 17430  df-gim 17473  df-ga 17495  df-cntz 17522  df-oppg 17548  df-od 17720  df-gex 17721  df-pgp 17722  df-lsm 17823  df-pj1 17824  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-cyg 18052  df-dprd 18166  df-dpj 18167  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-rnghom 18487  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-lidl 18944  df-rsp 18945  df-2idl 19002  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zrh 19619  df-zn 19622  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-cmp 20948  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-0p 23188  df-limc 23381  df-dv 23382  df-ply 23693  df-idp 23694  df-coe 23695  df-dgr 23696  df-quot 23795  df-log 24052  df-cxp 24053  df-em 24464  df-cht 24568  df-vma 24569  df-chp 24570  df-ppi 24571  df-mu 24572  df-dchr 24703
This theorem is referenced by:  dchrisum0  24954
  Copyright terms: Public domain W3C validator