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Theorem dchrisumlem3 24892
Description: Lemma for dchrisum 24893. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem3 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥,𝑐,𝑡   1 ,𝑐   𝑡,𝑛, 1 ,𝑥   𝑢,𝑐,𝐹,𝑛,𝑡,𝑥   𝐴,𝑐,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝑅,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝑀,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥   𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑡)   𝐷(𝑢)   𝑅(𝑡)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑡)   𝑍(𝑢,𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisumlem3
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11550 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11236 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 dchrisum.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐷)
98adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
103nnzd 11308 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
114, 5, 6, 7, 9, 10dchrzrhcl 24682 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) ∈ ℂ)
12 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1312ralrimiva 2943 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
14 nnrp 11669 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
15 nfcsb1v 3509 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
1615nfel1 2759 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
1817eleq1d 2666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3270 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
2019impcom 444 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
2113, 14, 20syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
2221recnd 9919 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
2311, 22mulcld 9911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
24 nfcv 2745 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖
25 nfcv 2745 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑋‘(𝐿𝑖))
26 nfcv 2745 . . . . . . . . . 10 𝑛 ·
2725, 26, 15nfov 6548 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)
28 fveq2 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 → (𝐿𝑛) = (𝐿𝑖))
2928fveq2d 6087 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
3029, 17oveq12d 6540 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
31 dchrisum.7 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
3224, 27, 30, 31fvmptf 6189 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
333, 23, 32syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
3433, 23eqeltrd 2682 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
351, 2, 34serf 12641 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
3635ffvelrnda 6247 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
3712recnd 9919 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837ralrimiva 2943 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℂ)
3938adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℂ)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+)
41 2re 10932 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
42 dchrisum.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
43 remulcl 9872 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
4441, 42, 43sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
45 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
46 lbfzo0 12325 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4745, 46sylibr 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
48 dchrisum.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
49 oveq2 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = (0..^0))
50 fzo0 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^0) = ∅
5149, 50syl6eq 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = ∅)
5251sumeq1d 14220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
53 sum0 14240 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
5452, 53syl6eq 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
5554abs00bd 13820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 0 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = 0)
5655breq1d 4582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 0 → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
5756rspcv 3272 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
5847, 48, 57sylc 62 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
59 0le2 10953 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
60 mulge0 10390 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6141, 59, 60mpanl12 713 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6242, 58, 61syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6344, 62ge0p1rpd 11729 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+)
64 rpdivcl 11683 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ+)
6540, 63, 64syl2anr 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ+)
66 dchrisum.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
6839, 65, 67rlimi 14033 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
69 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
70 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7170nnred 10877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7369, 72ifcld 4075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
74 0red 9892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7570nngt0d 10906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑀)
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 < 𝑀)
77 max1 11844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
7871, 77sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
7974, 72, 73, 76, 78ltletrd 10043 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 < if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
8073, 79elrpd 11696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
8180adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
82 nfv 1828 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)
83 nfcv 2745 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛abs
84 nfcsb1v 3509 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴
85 nfcv 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛
86 nfcv 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛0
8784, 85, 86nfov 6548 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)
8883, 87nffv 6090 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0))
89 nfcv 2745 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 <
90 nfcv 2745 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
9188, 89, 90nfbr 4618 . . . . . . . . . . 11 𝑛(abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
9282, 91nfim 1811 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))
93 breq2 4576 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝑚𝑛𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))
94 csbeq1a 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → 𝐴 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
9594oveq1d 6537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 − 0) = (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0))
9695fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)))
9796breq1d 4582 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
9893, 97imbi12d 332 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) ↔ (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
9992, 98rspc 3270 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
10081, 99syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
10171ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
102 max2 11846 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
103101, 102sylancom 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
10413ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
10584nfel1 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
10694eleq1d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
107105, 106rspc 3270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
10881, 104, 107sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
109108recnd 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
110109subid1d 10227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
111110fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) = (abs‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
11273adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
113101, 77sylancom 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
114 elicopnf 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
115101, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
116112, 113, 115mpbir2and 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞))
11745ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
118 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (0g𝐺)
1198ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋𝐷)
120 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
121120ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋1 )
122 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
12370ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
124104r19.21bi 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
125 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝜑)
126 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
127125, 126syl3an1 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
12866ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
1295, 7, 117, 4, 6, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 127, 128, 31dchrisumlema 24889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)))
130129simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
131116, 130mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
132108, 131absidd 13950 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
133111, 132eqtrd 2638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
134133breq1d 4582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
135 rpre 11666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
136135ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑒 ∈ ℝ)
13763ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+)
138108, 136, 137ltmuldiv2d 11747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
139134, 138bitr4d 269 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
14044ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
141137rpred 11699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ)
142140lep1d 10799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ≤ ((2 · 𝑅) + 1))
143140, 141, 108, 131, 142lemul1ad 10807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
144140, 108remulcld 9921 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
145141, 108remulcld 9921 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
146 lelttr 9974 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
147144, 145, 136, 146syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
148143, 147mpand 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
149139, 148sylbid 228 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
150 1red 9906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
15170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
152151nnge1d 10905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑀)
153150, 72, 73, 152, 78letrd 10040 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
154 flge1nn 12434 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
15573, 153, 154syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
156155adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
15745ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1588ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋𝐷)
159120ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋1 )
16070ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
16112adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
162161adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1631263adant1r 1310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
1641633adant1r 1310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
16566ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
16642ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
16748ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
16880adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
16978adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
17073adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
171 fllep1 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
173155adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
174 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
1755, 7, 157, 4, 6, 118, 158, 159, 122, 160, 162, 164, 165, 31, 166, 167, 168, 169, 172, 173, 174dchrisumlem2 24891 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
176175adantllr 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
17735ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
178 eluznn 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
179156, 178sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
180177, 179ffvelrnd 6248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
181156adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
182177, 181ffvelrnd 6248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))) ∈ ℂ)
183180, 182subcld 10238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∈ ℂ)
184183abscld 13964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ)
185144adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
186136adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑒 ∈ ℝ)
187 lelttr 9974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
188184, 185, 186, 187syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
189176, 188mpand 706 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
190189ralrimdva 2946 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
191 fveq2 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
192 fveq2 6083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
193192oveq2d 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))))
194193fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))))
195194breq1d 4582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
196191, 195raleqbidv 3123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
197196rspcev 3276 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
198156, 190, 197syl6an 565 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
199149, 198syld 45 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
200103, 199embantd 56 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
201100, 200syld 45 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
202201rexlimdva 3007 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
20368, 202mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
204203ralrimiva 2943 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
205 seqex 12615 . . . . 5 seq1( + , 𝐹) ∈ V
206205a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
2071, 36, 204, 206caucvg 14198 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
208205eldm 5225 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
209207, 208sylib 206 . 2 (𝜑 → ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
210 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
211 elrege0 12100 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((2 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑅)))
21244, 62, 211sylanbrc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
213212adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
214 eqid 2604 . . . . . . . 8 (ℤ‘(⌊‘𝑚)) = (ℤ‘(⌊‘𝑚))
215 pnfxr 11776 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
216 icossre 12076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
21771, 215, 216sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
218217sselda 3562 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
219218adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
220219flcld 12411 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℤ)
221 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
22235ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
223 1red 9906 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
22471ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22570ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℕ)
226225nnge1d 10905 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑀)
227 elicopnf 12091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑚)))
22871, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑚)))
229228simplbda 651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑚)
230229adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑚)
231223, 224, 219, 226, 230letrd 10040 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑚)
232 flge1nn 12434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
233219, 231, 232syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
234222, 233ffvelrnd 6248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
235 nnex 10868 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
236235mptex 6363 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
237236a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V)
238222adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
239 eluznn 11585 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑚) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
240233, 239sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
241238, 240ffvelrnd 6248 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑖) ∈ ℂ)
242 fveq2 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))
243242oveq2d 6538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
244 eqid 2604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
245 ovex 6550 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) ∈ V
246243, 244, 245fvmpt3i 6176 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
247240, 246syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
248214, 220, 221, 234, 237, 241, 247climsubc2 14158 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ⇝ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡))
249235mptex 6363 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V
250249a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V)
251 fvex 6093 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ V
252251fvconst2 6347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
253240, 252syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
254253oveq1d 6537 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
255247, 254eqtr4d 2641 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
256234adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
257253, 256eqeltrd 2682 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) ∈ ℂ)
258257, 241subcld 10238 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
259255, 258eqeltrd 2682 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
260243fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
261 eqid 2604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))
262 fvex 6093 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
263260, 261, 262fvmpt3i 6176 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
264240, 263syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
265247fveq2d 6087 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
266264, 265eqtr4d 2641 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)))
267214, 248, 250, 220, 259, 266climabs 14123 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ⇝ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)))
26844ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
269 0red 9892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
27071adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
27175adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
272269, 270, 218, 271, 229ltletrd 10043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑚)
273218, 272elrpd 11696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
274 nfcsb1v 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
275274nfel1 2759 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
276 csbeq1a 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
277276eleq1d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
278275, 277rspc 3270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
27913, 278mpan9 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
280273, 279syldan 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
281280adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
282268, 281remulcld 9921 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
283282recnd 9919 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
284 1z 11235 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
2851eqimss2i 3617 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
286285, 235climconst2 14068 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
287283, 284, 286sylancl 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
288256, 241subcld 10238 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
289288abscld 13964 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) ∈ ℝ)
290264, 289eqeltrd 2682 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ∈ ℝ)
291 ovex 6550 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V
292291fvconst2 6347 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
293240, 292syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
294282adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
295293, 294eqeltrd 2682 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) ∈ ℝ)
296 simplll 793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝜑)
297296, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
298296, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋𝐷)
299296, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋1 )
300225adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ∈ ℕ)
301296, 12sylan 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
302296, 126syl3an1 1350 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
303296, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
304296, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑅 ∈ ℝ)
305296, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
306273adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
307306adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
308230adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀𝑚)
309219adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
310 reflcl 12409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → (⌊‘𝑚) ∈ ℝ)
311 peano2re 10055 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑚) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
312309, 310, 3113syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
313 flltp1 12413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
314309, 313syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
315309, 312, 314ltled 10031 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
316233adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
317 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)))
3185, 7, 297, 4, 6, 118, 298, 299, 122, 300, 301, 302, 303, 31, 304, 305, 307, 308, 315, 316, 317dchrisumlem2 24891 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
319256, 241abssubd 13981 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
320264, 319eqtrd 2638 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
321318, 320, 2933brtr4d 4604 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ≤ ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖))
322214, 220, 267, 287, 290, 295, 321climle 14159 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
323322ralrimiva 2943 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
324 oveq1 6529 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (𝑐 · 𝐵) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
325324breq2d 4584 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (2 · 𝑅) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
326325ralbidv 2963 . . . . . . . 8 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
327 fveq2 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑥 → (⌊‘𝑚) = (⌊‘𝑥))
328327fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
329328oveq1d 6537 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑥 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡))
330329fveq2d 6087 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
331 vex 3170 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚 ∈ V
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑥𝑚 ∈ V)
333 equequ2 1938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑥 → (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑥))
334333biimpa 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝑥𝑛 = 𝑚) → 𝑛 = 𝑥)
335334, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝑥𝑛 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
336332, 335csbied 3520 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑥𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
337336oveq2d 6538 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑥 → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
338330, 337breq12d 4585 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
339338cbvralv 3141 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵))
340326, 339syl6bbr 276 . . . . . . 7 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)))
341340rspcev 3276 . . . . . 6 (((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
342213, 323, 341syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
343 r19.42v 3067 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
344210, 342, 343sylanbrc 694 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
345344ex 448 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
346345eximdv 1831 . 2 (𝜑 → (∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
347209, 346mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1975  wne 2774  wral 2890  wrex 2891  Vcvv 3167  csb 3493  wss 3534  c0 3868  ifcif 4030  {csn 4119   class class class wbr 4572  cmpt 4632   × cxp 5021  dom cdm 5023  wf 5781  cfv 5785  (class class class)co 6522  cc 9785  cr 9786  0cc0 9787  1c1 9788   + caddc 9790   · cmul 9792  +∞cpnf 9922  *cxr 9924   < clt 9925  cle 9926  cmin 10112   / cdiv 10528  cn 10862  2c2 10912  cz 11205  cuz 11514  +crp 11659  [,)cico 11999  ..^cfzo 12284  cfl 12403  seqcseq 12613  abscabs 13763  cli 14004  𝑟 crli 14005  Σcsu 14205  Basecbs 15636  0gc0g 15864  ℤRHomczrh 19607  ℤ/nczn 19610  DChrcdchr 24669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-ec 7603  df-qs 7607  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-rp 11660  df-ico 12003  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-mod 12481  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-limsup 13991  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-sum 14206  df-dvds 14763  df-gcd 14996  df-phi 15250  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-0g 15866  df-imas 15932  df-qus 15933  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-mhm 17099  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-mulg 17305  df-subg 17355  df-nsg 17356  df-eqg 17357  df-ghm 17422  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-cring 18314  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-rnghom 18479  df-subrg 18542  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-sra 18934  df-rgmod 18935  df-lidl 18936  df-rsp 18937  df-2idl 18994  df-cnfld 19509  df-zring 19579  df-zrh 19611  df-zn 19614  df-dchr 24670
This theorem is referenced by:  dchrisum  24893
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