MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumlema 24891
Description: Lemma for dchrisum 24895. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema (𝜑 → ((𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛, 1   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
21ralrimiva 2945 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
3 nfcsb1v 3511 . . . . 5 𝑛𝐼 / 𝑛𝐴
43nfel1 2761 . . . 4 𝑛𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
5 csbeq1a 3504 . . . . 5 (𝑛 = 𝐼𝐴 = 𝐼 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2668 . . . 4 (𝑛 = 𝐼 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
74, 6rspc 3272 . . 3 (𝐼 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
82, 7syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
9 eqid 2606 . . . 4 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) = (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnred 10879 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12 elicopnf 12093 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐼)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐼)))
1413simprbda 650 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ∈ ℝ)
1514flcld 12413 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝐼) ∈ ℤ)
1615peano2zd 11314 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℤ)
17 nnuz 11552 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 11238 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19 dchrisum.6 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
20 nnrp 11671 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
2120ssriv 3568 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ+
22 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) = (𝑛 ∈ ℝ+𝐴)
2322, 1dmmptd 5920 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) = ℝ+)
2421, 23syl5sseqr 3613 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ⊆ dom (𝑛 ∈ ℝ+𝐴))
2517, 18, 19, 24rlimclim1 14067 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝ 0)
2625adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝ 0)
27 0red 9894 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
2811adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
2910nngt0d 10908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑀)
3029adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
3113simplbda 651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝐼)
3227, 28, 14, 30, 31ltletrd 10045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝐼)
3314, 32elrpd 11698 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ∈ ℝ+)
342adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
3533, 34, 7sylc 62 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
3635recnd 9921 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
37 ssid 3583 . . . . . 6 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) ⊆ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))
38 fvex 6095 . . . . . 6 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) ∈ V
3937, 38climconst2 14070 . . . . 5 ((𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℤ) → ((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴}) ⇝ 𝐼 / 𝑛𝐴)
4036, 16, 39syl2anc 690 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴}) ⇝ 𝐼 / 𝑛𝐴)
4133rpge0d 11705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐼)
42 flge0nn0 12435 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
4314, 41, 42syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
44 nn0p1nn 11176 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ)
46 eluznn 11587 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
4745, 46sylan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
4847nnrpd 11699 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ+)
492ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
50 nfcsb1v 3511 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
5150nfel1 2761 . . . . . . . 8 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
52 csbeq1a 3504 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5352eleq1d 2668 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
5451, 53rspc 3272 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
5548, 49, 54sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
5622fvmpts 6176 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5748, 55, 56syl2anc 690 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5857, 55eqeltrd 2684 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
59 fvconst2g 6347 . . . . . 6 ((𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) = 𝐼 / 𝑛𝐴)
6035, 59sylan 486 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) = 𝐼 / 𝑛𝐴)
6135adantr 479 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
6260, 61eqeltrd 2684 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) ∈ ℝ)
6333adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ+)
64 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
65643expia 1258 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
6665ralrimivva 2950 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
6766ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
68 nfcv 2747 . . . . . . . . 9 𝑛+
69 nfv 1829 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑀𝐼𝐼𝑥)
70 nfcv 2747 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐵
71 nfcv 2747 . . . . . . . . . . 11 𝑛
7270, 71, 3nfbr 4620 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴
7369, 72nfim 1812 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)
7468, 73nfral 2925 . . . . . . . 8 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)
75 breq2 4578 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐼 → (𝑀𝑛𝑀𝐼))
76 breq1 4577 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐼 → (𝑛𝑥𝐼𝑥))
7775, 76anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐼 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝐼𝐼𝑥)))
785breq2d 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐼 → (𝐵𝐴𝐵𝐼 / 𝑛𝐴))
7977, 78imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐼 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8079ralbidv 2965 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐼 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8174, 80rspc 3272 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8263, 67, 81sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴))
8331adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑀𝐼)
8414adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
85 reflcl 12411 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
86 peano2re 10057 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐼) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℝ)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℝ)
8847nnred 10879 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
89 fllep1 12416 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
9014, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
9190adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
92 eluzle 11529 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ≤ 𝑖)
9392adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((⌊‘𝐼) + 1) ≤ 𝑖)
9484, 87, 88, 91, 93letrd 10042 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼𝑖)
9583, 94jca 552 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (𝑀𝐼𝐼𝑖))
96 breq2 4578 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → (𝐼𝑥𝐼𝑖))
9796anbi2d 735 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑀𝐼𝐼𝑥) ↔ (𝑀𝐼𝐼𝑖)))
98 eqvisset 3180 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖𝑖 ∈ V)
99 equtr2 1940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑖𝑛 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑛)
100 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
101100equcoms 1933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑛𝐴 = 𝐵)
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑖𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
10398, 102csbied 3522 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
104103eqcomd 2612 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
105104breq1d 4584 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → (𝐵𝐼 / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴))
10697, 105imbi12d 332 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → (((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝐼𝐼𝑖) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)))
107106rspcv 3274 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝐼𝐼𝑖) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)))
10848, 82, 95, 107syl3c 63 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)
109108, 57, 603brtr4d 4606 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) ≤ (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖))
1109, 16, 26, 40, 58, 62, 109climle 14161 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)
111110ex 448 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴))
1128, 111jca 552 1 (𝜑 → ((𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  Vcvv 3169  csb 3495  {csn 4121   class class class wbr 4574  cmpt 4634   × cxp 5023  dom cdm 5025  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  +∞cpnf 9924   < clt 9927  cle 9928  cn 10864  0cn0 11136  cz 11207  cuz 11516  +crp 11661  [,)cico 12001  cfl 12405  cli 14006  𝑟 crli 14007  Basecbs 15638  0gc0g 15866  ℤRHomczrh 19609  ℤ/nczn 19612  DChrcdchr 24671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-ico 12005  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  24893  dchrisumlem3  24894
  Copyright terms: Public domain W3C validator