Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmulid2 24894
 Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchrmulid2.t · = (+g𝐺)
dchrmulid2.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   · (𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 dchrmulid2.t . . 3 · = (+g𝐺)
5 dchrn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
6 dchrn0.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7 dchr1cl.o . . . 4 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
8 dchrmulid2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
91, 3dchrrcl 24882 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 24893 . . 3 (𝜑1𝐷)
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 24890 . 2 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = ( 1𝑓 · 𝑋))
13 oveq1 6617 . . . . . 6 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (1 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1413eqeq1d 2623 . . . . 5 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
15 oveq1 6617 . . . . . 6 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (0 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1615eqeq1d 2623 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
171, 2, 3, 5, 8dchrf 24884 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
1817ffvelrnda 6320 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
2019mulid2d 10010 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
21 0cn 9984 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
2221mul02i 10177 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 24879 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))))
248, 23mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈)))
2524simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2625r19.21bi 2927 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2726necon1bd 2808 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑋𝑘) = 0))
2827imp 445 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) = 0)
2928oveq2d 6626 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (0 · 0))
3022, 29, 283eqtr4a 2681 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3114, 16, 20, 30ifbothda 4100 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3231mpteq2dva 4709 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))) = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
33 fvex 6163 . . . . . 6 (Base‘𝑍) ∈ V
345, 33eqeltri 2694 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3534a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
36 ax-1cn 9946 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3736, 21keepel 4132 . . . . 5 if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ)
397a1i 11 . . . 4 (𝜑1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
4017feqmptd 6211 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
4135, 38, 18, 39, 40offval2 6874 . . 3 (𝜑 → ( 1𝑓 · 𝑋) = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))))
4232, 41, 403eqtr4d 2665 . 2 (𝜑 → ( 1𝑓 · 𝑋) = 𝑋)
4312, 42eqtrd 2655 1 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  Vcvv 3189  ifcif 4063   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ∘𝑓 cof 6855  ℂcc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893  ℕcn 10972  Basecbs 15792  +gcplusg 15873   MndHom cmhm 17265  mulGrpcmgp 18421  Unitcui 18571  ℂfldccnfld 19678  ℤ/nℤczn 19783  DChrcdchr 24874 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-imas 16100  df-qus 16101  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-subg 17523  df-nsg 17524  df-eqg 17525  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-lidl 19106  df-rsp 19107  df-2idl 19164  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zn 19787  df-dchr 24875 This theorem is referenced by:  dchrabl  24896  dchr1  24899
 Copyright terms: Public domain W3C validator