MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusumlem 24955
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1 1 = (0g𝐺)
dchrmusum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrmusum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrmusum.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlem (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrmusumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 12591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 dchrmusum.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrmusum.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6 dchrmusum.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
76ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
8 elfzelz 12170 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
98adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 24714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
11 elfznn 12198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1211adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13 mucl 24611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
1514zred 11316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
1615, 12nndivred 10918 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1716recnd 9924 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
1810, 17mulcld 9916 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
191, 18fsumcl 14259 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
20 dchrmusum.t . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
21 climcl 14026 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇𝑇 ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2322adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
2419, 23mulcld 9916 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) ∈ ℂ)
25 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
26 dchrmusum.1 . . . . . . 7 1 = (0g𝐺)
27 dchrmusum.n1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋1 )
28 dchrmusum.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
29 dchrmusum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
30 dchrmusum.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
313, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrisumn0 24954 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ≠ 0)
3231adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
3324, 23, 32divrecd 10655 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) / 𝑇) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇)))
3419, 23, 32divcan4d 10658 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) / 𝑇) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)))
3533, 34eqtr3d 2645 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)))
3635mpteq2dva 4666 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))))
3722, 31reccld 10645 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝑇) ∈ ℂ)
3837adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑇) ∈ ℂ)
393, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrmusum2 24927 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
40 rpssre 11677 . . . 4 + ⊆ ℝ
41 o1const 14146 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (1 / 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
4240, 37, 41sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
4324, 38, 39, 42o1mul2 14151 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
4436, 43eqeltrrd 2688 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10535  cn 10869  cz 11212  +crp 11666  [,)cico 12006  ...cfz 12154  cfl 12410  seqcseq 12620  abscabs 13770  cli 14011  𝑂(1)co1 14013  Σcsu 14212  Basecbs 15643  0gc0g 15871  ℤRHomczrh 19614  ℤ/nczn 19617  μcmu 24565  DChrcdchr 24701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-rpss 6812  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-word 13102  df-concat 13104  df-s1 13105  df-shft 13603  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-limsup 13998  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-o1 14017  df-lo1 14018  df-sum 14213  df-ef 14585  df-e 14586  df-sin 14587  df-cos 14588  df-pi 14590  df-dvds 14770  df-gcd 15003  df-prm 15172  df-numer 15229  df-denom 15230  df-phi 15257  df-pc 15328  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-qus 15940  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mhm 17106  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-mulg 17312  df-subg 17362  df-nsg 17363  df-eqg 17364  df-ghm 17429  df-gim 17472  df-ga 17494  df-cntz 17521  df-oppg 17547  df-od 17719  df-gex 17720  df-pgp 17721  df-lsm 17822  df-pj1 17823  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-cyg 18051  df-dprd 18165  df-dpj 18166  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-cring 18321  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-rnghom 18486  df-drng 18520  df-subrg 18549  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lsp 18741  df-sra 18941  df-rgmod 18942  df-lidl 18943  df-rsp 18944  df-2idl 19001  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-fbas 19512  df-fg 19513  df-cnfld 19516  df-zring 19586  df-zrh 19618  df-zn 19621  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cld 20580  df-ntr 20581  df-cls 20582  df-nei 20659  df-lp 20697  df-perf 20698  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-haus 20876  df-cmp 20947  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-fil 21407  df-fm 21499  df-flim 21500  df-flf 21501  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884  df-cncf 22436  df-0p 23187  df-limc 23380  df-dv 23381  df-ply 23692  df-idp 23693  df-coe 23694  df-dgr 23695  df-quot 23794  df-log 24051  df-cxp 24052  df-em 24463  df-cht 24567  df-vma 24568  df-chp 24569  df-ppi 24570  df-mu 24571  df-dchr 24702
This theorem is referenced by:  dchrmusum  24957
  Copyright terms: Public domain W3C validator