MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusumlema 25163
Description: Lemma for dchrmusum 25194 and dchrisumn0 25191. Apply dchrisum 25162 for the function 1 / 𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
9 oveq2 6643 . . 3 (𝑛 = 𝑥 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑥))
10 1nn 11016 . . . 4 1 ∈ ℕ
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
12 rpreccl 11842 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1312adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1413rpred 11857 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15 simp3r 1088 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛𝑥)
16 rpregt0 11831 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
17 rpregt0 11831 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
18 lerec 10891 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
1916, 17, 18syl2an 494 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
20193ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
2115, 20mpbid 222 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛))
22 ax-1cn 9979 . . . 4 1 ∈ ℂ
23 divrcnv 14565 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
25 fveq2 6178 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑛))
2625fveq2d 6182 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
27 oveq2 6643 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → (1 / 𝑎) = (1 / 𝑛))
2826, 27oveq12d 6653 . . . 4 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛)))
2928cbvmptv 4741 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛)))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 29dchrisum 25162 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
317adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
32 nnz 11384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
344, 1, 5, 2, 31, 33dchrzrhcl 24951 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
35 nncn 11013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
37 nnne0 11038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3934, 36, 38divrecd 10789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛)))
4039mpteq2dva 4735 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛))))
41 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
42 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑛𝑎 = 𝑛)
4326, 42oveq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
4443cbvmptv 4741 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
4541, 44eqtri 2642 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
4640, 45, 293eqtr4g 2679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))
4746adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))
4847seqeq3d 12792 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
4948breq1d 4654 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡))
50 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘𝑦) = (⌊‘𝑥))
5150fveq2d 6182 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
5251oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡))
5352fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
54 oveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / 𝑦) = (𝑐 / 𝑥))
5553, 54breq12d 4657 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥)))
5655cbvralv 3166 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥))
5746seqeq3d 12792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
5857fveq1d 6180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)))
5958oveq1d 6650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡) = ((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡))
6059fveq2d 6182 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
6160ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
62 elrege0 12263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
6362simplbi 476 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
6463recnd 10053 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℂ)
6564ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
66 1re 10024 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
67 elicopnf 12254 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
6968simplbi 476 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7069adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7170recnd 10053 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
72 0red 10026 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
73 1red 10040 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
74 0lt1 10535 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
7668simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
7872, 73, 70, 75, 77ltletrd 10182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
7978gt0ne0d 10577 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
8065, 71, 79divrecd 10789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / 𝑥) = (𝑐 · (1 / 𝑥)))
8161, 80breq12d 4657 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
8281ralbidva 2982 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
8356, 82syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
8449, 83anbi12d 746 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
8584rexbidva 3045 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
8685exbidv 1848 . 2 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
8730, 86mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  +∞cpnf 10056   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  cz 11362  +crp 11817  [,)cico 12162  cfl 12574  seqcseq 12784  abscabs 13955  cli 14196  𝑟 crli 14197  Basecbs 15838  0gc0g 16081  ℤRHomczrh 19829  ℤ/nczn 19832  DChrcdchr 24938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-phi 15452  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-imas 16149  df-qus 16150  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-nsg 17573  df-eqg 17574  df-ghm 17639  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-rnghom 18696  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-lidl 19155  df-rsp 19156  df-2idl 19213  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-zrh 19833  df-zn 19836  df-dchr 24939
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25182  dchrisum0re  25183  dchrisum0lem3  25189  dchrmusum  25194  dchrvmasum  25195
  Copyright terms: Public domain W3C validator