Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrn0 24875
 Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrn0.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrn0.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dchrn0 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))

Proof of Theorem dchrn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrn0.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 dchrn0.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
3 dchrmhm.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 dchrmhm.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 dchrn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑍)
6 dchrn0.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7 dchrmhm.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
83, 7dchrrcl 24865 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
103, 4, 5, 6, 9, 7dchrelbas2 24862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
112, 10mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
1211simprd 479 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
13 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑋𝑥) = (𝑋𝐴))
1413neeq1d 2849 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋𝐴) ≠ 0))
15 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑈𝐴𝑈))
1614, 15imbi12d 334 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ↔ ((𝑋𝐴) ≠ 0 → 𝐴𝑈)))
1716rspcv 3291 . . . 4 (𝐴𝐵 → (∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) → ((𝑋𝐴) ≠ 0 → 𝐴𝑈)))
181, 12, 17sylc 65 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 → 𝐴𝑈))
1918imp 445 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → 𝐴𝑈)
20 ax-1ne0 9949 . . . . 5 1 ≠ 0
2120a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → 1 ≠ 0)
229nnnn0d 11295 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
234zncrng 19812 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
24 crngring 18479 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
26 eqid 2621 . . . . . . . 8 (invr𝑍) = (invr𝑍)
27 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (.r𝑍)
28 eqid 2621 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
296, 26, 27, 28unitrinv 18599 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴)) = (1r𝑍))
3025, 29sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴)) = (1r𝑍))
3130fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = (𝑋‘(1r𝑍)))
3211simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
341adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝐴𝐵)
356, 26, 5ringinvcl 18597 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
3625, 35sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
37 eqid 2621 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3837, 5mgpbas 18416 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3937, 27mgpplusg 18414 . . . . . . 7 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
40 eqid 2621 . . . . . . . 8 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
41 cnfldmul 19671 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
4240, 41mgpplusg 18414 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
4338, 39, 42mhmlin 17263 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
4433, 34, 36, 43syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
4537, 28ringidval 18424 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
46 cnfld1 19690 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4740, 46ringidval 18424 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
4845, 47mhm0 17264 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
4933, 48syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
5031, 44, 493eqtr3d 2663 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = 1)
51 cnfldbas 19669 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
5240, 51mgpbas 18416 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
5338, 52mhmf 17261 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5433, 53syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5554, 36ffvelrnd 6316 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴)) ∈ ℂ)
5655mul02d 10178 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = 0)
5721, 50, 563netr4d 2867 . . 3 ((𝜑𝐴𝑈) → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
58 oveq1 6611 . . . 4 ((𝑋𝐴) = 0 → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
5958necon3i 2822 . . 3 (((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
6057, 59syl 17 . 2 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
6119, 60impbida 876 1 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  Basecbs 15781  .rcmulr 15863   MndHom cmhm 17254  mulGrpcmgp 18410  1rcur 18422  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  Unitcui 18560  invrcinvr 18592  ℂfldccnfld 19665  ℤ/nℤczn 19770  DChrcdchr 24857 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-rsp 19094  df-2idl 19151  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zn 19774  df-dchr 24858 This theorem is referenced by:  dchrinvcl  24878  dchrfi  24880  dchrghm  24881  dchreq  24883  dchrabs  24885  dchrabs2  24887  dchr1re  24888  dchrpt  24892  dchrsum  24894  sum2dchr  24899  rpvmasumlem  25076  dchrisum0flblem1  25097
 Copyright terms: Public domain W3C validator