Theorem dchrrcl 25818

Description: Reverse closure for a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrrcl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrrcl.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem dchrrcl

Dummy variables 𝑛 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dchr 25811	. . 3 ⊢ DChr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(ℤ/nℤ‘𝑛) / 𝑧⦌⦋{𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑧) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑧) ∖ (Unit‘𝑧)) × {0}) ⊆ 𝑥} / 𝑏⦌{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩})
2	1	dmmptss 6097	. 2 ⊢ dom DChr ⊆ ℕ
3		n0i 4301	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐷 = ∅)
4		dchrrcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		ndmfv 6702	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → (DChr‘𝑁) = ∅)
6	4, 5	syl5eq 2870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐺 = ∅)
7		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
8		dchrrcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
9		base0 16538	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2883	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → 𝐷 = ∅)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐷 = ∅)
12	3, 11	nsyl2 143	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ dom DChr)
13	2, 12	sseldi 3967	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144  ⦋csb 3885   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569  {cpr 4571  ⟨cop 4575   × cxp 5555  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  0cc0 10539   · cmul 10544  ℕcn 11640  ndxcnx 16482  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567   MndHom cmhm 17956  mulGrpcmgp 19241  Unitcui 19391  ℂ_fldccnfld 20547  ℤ/nℤczn 20652  DChrcdchr 25810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-slot 16489  df-base 16491  df-dchr 25811

This theorem is referenced by:  dchrmhm  25819  dchrf  25820  dchrelbas4  25821  dchrzrh1  25822  dchrzrhcl  25823  dchrzrhmul  25824  dchrmul  25826  dchrmulcl  25827  dchrn0  25828  dchrmulid2  25830  dchrinvcl  25831  dchrghm  25834  dchrabs  25838  dchrinv  25839  dchrsum2  25846  dchrsum  25847  dchr2sum  25851