Theorem dchrvmasumiflem2 26080

Description: Lemma for dchrvmasum 26103. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasumif.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrvmasumif.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
dchrvmasumif.g	⊢ 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
dchrvmasumif.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrvmasumif.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumiflem2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑦,𝐾   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐸(𝑛,𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumiflem2

Dummy variables 𝑘 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10644	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		fzfid 13344	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
3		rpvmasum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		rpvmasum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
7		dchrisum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		elfzelz 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
10	9	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
11	3, 4, 5, 6, 8, 10	dchrzrhcl 25823	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
12		elfznn 12939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
13	12	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
14		mucl 25720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
16	15	zred 12090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
17	16, 13	nndivred 11694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
18	17	recnd 10671	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
19	11, 18	mulcld 10663	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
20	2, 19	fsumcl 15092	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
21		dchrvmasumif.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
22		climcl 14858	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆 → 𝑆 ∈ ℂ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
24	23	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
25	20, 24	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) ∈ ℂ)
26		0cnd 10636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 0 ∈ ℂ)
27		df-ne 3019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
28		dchrvmasumif.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
29		climcl 14858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇 → 𝑇 ∈ ℂ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
31	30	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℂ)
32	23	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
33		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ≠ 0)
34	31, 32, 33	divcld 11418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑇 / 𝑆) ∈ ℂ)
35	27, 34	sylan2br 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 = 0) → (𝑇 / 𝑆) ∈ ℂ)
36	26, 35	ifclda 4503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ)
37	36	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ)
38		rpvmasum.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
39		rpvmasum.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
40		dchrisum.n1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
41		dchrvmasumif.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
42		dchrvmasumif.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
43		dchrvmasumif.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
44	4, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43	dchrmusum2 26072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆)) ∈ 𝑂(1))
45		rpssre 12399	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
46		o1const 14978	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
47	45, 36, 46	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
48	25, 37, 44, 47	o1mul2 14983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1))
49		fzfid 13344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ Fin)
50	8	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
51		elfzelz 12911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℤ)
52	51	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
53	3, 4, 5, 6, 50, 52	dchrzrhcl 25823	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑘)) ∈ ℂ)
54		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
55	12	nnrpd 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
56		rpdivcl 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
57	54, 55, 56	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
58		elfznn 12939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℕ)
59	58	nnrpd 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
60		ifcl 4513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘) ∈ ℝ+)
61	57, 59, 60	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘) ∈ ℝ+)
62	61	relogcld 25208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) ∈ ℝ)
63	58	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
64	62, 63	nndivred 11694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘) ∈ ℝ)
65	64	recnd 10671	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘) ∈ ℂ)
66	53, 65	mulcld 10663	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
67	49, 66	fsumcl 15092	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
68	19, 67	mulcld 10663	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) ∈ ℂ)
69	2, 68	fsumcl 15092	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) ∈ ℂ)
70	25, 37	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ ℂ)
71		0cn 10635	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
72	30	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
73		ifcl 4513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
74	71, 72, 73	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
75	19, 67, 74	subdid 11098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
76	75	sumeq2dv 15062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
77	19, 74	mulcld 10663	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ ℂ)
78	2, 68, 77	fsumsub 15145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
79	20, 24, 37	mulassd 10666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
80		ovif2 7254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)))
81	23	mul01d 10841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 0) = 0)
82	81	ifeq1d 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))))
83	31, 32, 33	divcan2d 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
84	27, 83	sylan2br 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 = 0) → (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
85	84	ifeq2da 4500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
86	82, 85	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
87	80, 86	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
88	87	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
89	88	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
90	71, 30, 73	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
91	90	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
92	2, 91, 19	fsummulc1 15142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
93	79, 89, 92	3eqtrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))
94	93	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
95	76, 78, 94	3eqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
96	95	mpteq2dva 5163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))))
97		dchrvmasumif.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
98		dchrvmasumif.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
99		dchrvmasumif.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
100	4, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43, 97, 98, 28, 99	dchrvmasumiflem1 26079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) ∈ 𝑂(1))
101	96, 100	eqeltrrd 2916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))) ∈ 𝑂(1))
102	69, 70, 101	o1dif 14988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1)))
103	48, 102	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))) ∈ 𝑂(1))
104	7	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
105		elfzelz 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
106	105	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
107	3, 4, 5, 6, 104, 106	dchrzrhcl 25823	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
108		elfznn 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
109	108	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
110		vmacl 25697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
111		nndivre 11681	. . . . . . . 8 ⊢ (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
112	110, 111	mpancom 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
113	109, 112	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
114	113	recnd 10671	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
115	107, 114	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
116	2, 115	fsumcl 15092	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
117		relogcl 25161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
118	117	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
119	118	recnd 10671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
120		ifcl 4513	. . . 4 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
121	119, 71, 120	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
122	116, 121	addcld 10662	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0)) ∈ ℂ)
123	122	abscld 14798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
124	123	adantrr 715	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
125	38	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑁 ∈ ℕ)
126	7	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
127	40	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋 ≠ 1 )
128		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
129		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
130	4, 6, 125, 3, 5, 39, 126, 127, 128, 129	dchrvmasum2if 26075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))))
131	130	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))))
132	124, 131	eqled 10745	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))))
133	1, 103, 69, 122, 132	o1le 15011	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  +∞cpnf 10674   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  3c3 11696  ℤcz 11984  ℝ⁺crp 12392  [,)cico 12743  ...cfz 12895  ⌊cfl 13163  seqcseq 13372  abscabs 14595   ⇝ cli 14843  𝑂(1)co1 14845  Σcsu 15044  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  ℤRHomczrh 20649  ℤ/nℤczn 20652  logclog 25140  Λcvma 25671  μcmu 25674  DChrcdchr 25810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-ec 8293  df-qs 8297  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-o1 14849  df-lo1 14850  df-sum 15045  df-ef 15423  df-e 15424  df-sin 15425  df-cos 15426  df-tan 15427  df-pi 15428  df-dvds 15610  df-gcd 15846  df-prm 16018  df-pc 16176  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-qus 16784  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-nsg 18279  df-eqg 18280  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-od 18658  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-rnghom 19469  df-drng 19506  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-lidl 19948  df-rsp 19949  df-2idl 20007  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-zring 20620  df-zrh 20653  df-zn 20656  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-cmp 21997  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-ulm 24967  df-log 25142  df-cxp 25143  df-atan 25447  df-em 25572  df-vma 25677  df-mu 25680  df-dchr 25811

This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  26081