Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumiflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumiflem2 25236
 Description: Lemma for dchrvmasum 25259. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrvmasumif.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
dchrvmasumif.g 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
dchrvmasumif.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.t (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrvmasumif.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumiflem2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑦,𝐾   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐸(𝑛,𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumiflem2
Dummy variables 𝑘 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10093 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 fzfid 12812 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
3 rpvmasum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 rpvmasum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
7 dchrisum.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐷)
87ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
9 elfzelz 12380 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
109adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
113, 4, 5, 6, 8, 10dchrzrhcl 25015 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
12 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
14 mucl 24912 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
1615zred 11520 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
1716, 13nndivred 11107 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
1817recnd 10106 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
1911, 18mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
202, 19fsumcl 14508 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
21 dchrvmasumif.s . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
22 climcl 14274 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆𝑆 ∈ ℂ)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
2520, 24mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) ∈ ℂ)
26 0cnd 10071 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = 0) → 0 ∈ ℂ)
27 df-ne 2824 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
28 dchrvmasumif.t . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
29 climcl 14274 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇𝑇 ∈ ℂ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℂ)
3223adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
33 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ≠ 0)
3431, 32, 33divcld 10839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑇 / 𝑆) ∈ ℂ)
3527, 34sylan2br 492 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 = 0) → (𝑇 / 𝑆) ∈ ℂ)
3626, 35ifclda 4153 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ)
38 rpvmasum.a . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
39 rpvmasum.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
40 dchrisum.n1 . . . . 5 (𝜑𝑋1 )
41 dchrvmasumif.f . . . . 5 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
42 dchrvmasumif.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
43 dchrvmasumif.1 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
444, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43dchrmusum2 25228 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆)) ∈ 𝑂(1))
45 rpssre 11881 . . . . 5 + ⊆ ℝ
46 o1const 14394 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
4745, 36, 46sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
4825, 37, 44, 47o1mul2 14399 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1))
49 fzfid 12812 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ Fin)
508adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
51 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℤ)
5251adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
533, 4, 5, 6, 50, 52dchrzrhcl 25015 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5512nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
56 rpdivcl 11894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
5754, 55, 56syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
58 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5958nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
60 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘) ∈ ℝ+)
6157, 59, 60syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘) ∈ ℝ+)
6261relogcld 24414 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) ∈ ℝ)
6358adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
6462, 63nndivred 11107 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘) ∈ ℝ)
6564recnd 10106 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘) ∈ ℂ)
6653, 65mulcld 10098 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
6749, 66fsumcl 14508 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
6819, 67mulcld 10098 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) ∈ ℂ)
692, 68fsumcl 14508 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) ∈ ℂ)
7025, 37mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ ℂ)
71 0cn 10070 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
7230ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
73 ifcl 4163 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
7471, 72, 73sylancr 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
7519, 67, 74subdid 10524 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = ((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
7675sumeq2dv 14477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
7719, 74mulcld 10098 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ ℂ)
782, 68, 77fsumsub 14564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
7920, 24, 37mulassd 10101 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
80 ovif2 6780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)))
8123mul01d 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 · 0) = 0)
8281ifeq1d 4137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))))
8331, 32, 33divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
8427, 83sylan2br 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 = 0) → (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
8584ifeq2da 4150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8682, 85eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8780, 86syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8887adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8988oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
9071, 30, 73sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
9190adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
922, 91, 19fsummulc1 14561 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
9379, 89, 923eqtrrd 2690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))
9493oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
9576, 78, 943eqtrd 2689 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
9695mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))))
97 dchrvmasumif.g . . . . . 6 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
98 dchrvmasumif.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,)+∞))
99 dchrvmasumif.2 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
1004, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43, 97, 98, 28, 99dchrvmasumiflem1 25235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) ∈ 𝑂(1))
10196, 100eqeltrrd 2731 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))) ∈ 𝑂(1))
10269, 70, 101o1dif 14404 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1)))
10348, 102mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))) ∈ 𝑂(1))
1047ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
105 elfzelz 12380 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
106105adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
1073, 4, 5, 6, 104, 106dchrzrhcl 25015 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
108 elfznn 12408 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
109108adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
110 vmacl 24889 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
111 nndivre 11094 . . . . . . . 8 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
112110, 111mpancom 704 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
113109, 112syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
114113recnd 10106 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
115107, 114mulcld 10098 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
1162, 115fsumcl 14508 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
117 relogcl 24367 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
118117adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
119118recnd 10106 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
120 ifcl 4163 . . . 4 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
121119, 71, 120sylancl 695 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
122116, 121addcld 10097 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0)) ∈ ℂ)
123122abscld 14219 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
124123adantrr 753 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
12538adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1267adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋𝐷)
12740adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋1 )
128 simprl 809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
129 simprr 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
1304, 6, 125, 3, 5, 39, 126, 127, 128, 129dchrvmasum2if 25231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))))
131130fveq2d 6233 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))))
132 eqle 10177 . . 3 (((abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))))) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))))
133124, 131, 132syl2anc 694 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))))
1341, 103, 69, 122, 133o1le 14427 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  3c3 11109  ℤcz 11415  ℝ+crp 11870  [,)cico 12215  ...cfz 12364  ⌊cfl 12631  seqcseq 12841  abscabs 14018   ⇝ cli 14259  𝑂(1)co1 14261  Σcsu 14460  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nℤczn 19899  logclog 24346  Λcvma 24863  μcmu 24866  DChrcdchr 25002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-em 24764  df-vma 24869  df-mu 24872  df-dchr 25003 This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  25237
 Copyright terms: Public domain W3C validator