Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem 25129
 Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1 1 = (0g𝐺)
dchrmusum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrmusum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrmusum.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumlem
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 dchrmusum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 dchrmusum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 dchrmusum.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
7 dchrmusum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrmusum.n1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋1 )
9 dchrmusum.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
10 dchrmusum.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11 dchrmusum.t . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
12 dchrmusum.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrisumn0 25127 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
15 ifnefalse 4075 . . . . . 6 (𝑇 ≠ 0 → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
1716oveq2d 6626 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0))
18 fzfid 12720 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
197ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
20 elfzelz 12292 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
224, 1, 5, 2, 19, 21dchrzrhcl 24887 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
23 elfznn 12320 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2423adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 vmacl 24761 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
26 nndivre 11008 . . . . . . . . . 10 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2725, 26mpancom 702 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2928recnd 10020 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
3022, 29mulcld 10012 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3118, 30fsumcl 14405 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3231addid1d 10188 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
3317, 32eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
3433mpteq2dva 4709 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrvmasumif 25109 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
3634, 35eqeltrrd 2699 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ifcif 4063   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  +∞cpnf 10023   ≤ cle 10027   − cmin 10218   / cdiv 10636  ℕcn 10972  ℤcz 11329  ℝ+crp 11784  [,)cico 12127  ...cfz 12276  ⌊cfl 12539  seqcseq 12749  abscabs 13916   ⇝ cli 14157  𝑂(1)co1 14159  Σcsu 14358  Basecbs 15792  0gc0g 16032  ℤRHomczrh 19780  ℤ/nℤczn 19783  logclog 24222  Λcvma 24735  DChrcdchr 24874 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-rpss 6897  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-o1 14163  df-lo1 14164  df-sum 14359  df-ef 14734  df-e 14735  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-numer 15378  df-denom 15379  df-phi 15406  df-pc 15477  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-qus 16101  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-nsg 17524  df-eqg 17525  df-ghm 17590  df-gim 17633  df-ga 17655  df-cntz 17682  df-oppg 17708  df-od 17880  df-gex 17881  df-pgp 17882  df-lsm 17983  df-pj1 17984  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-cyg 18212  df-dprd 18326  df-dpj 18327  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-rnghom 18647  df-drng 18681  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-lidl 19106  df-rsp 19107  df-2idl 19164  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zrh 19784  df-zn 19787  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-cmp 21113  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-0p 23360  df-limc 23553  df-dv 23554  df-ply 23865  df-idp 23866  df-coe 23867  df-dgr 23868  df-quot 23967  df-log 24224  df-cxp 24225  df-em 24636  df-cht 24740  df-vma 24741  df-chp 24742  df-ppi 24743  df-mu 24744  df-dchr 24875 This theorem is referenced by:  dchrvmasum  25131
 Copyright terms: Public domain W3C validator