MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dcubic1lem 25348
Description: Lemma for dcubic1 25350 and dcubic2 25349: simplify the cubic equation under the substitution 𝑋 = 𝑈𝑀 / 𝑈. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z (𝜑𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dcubic1lem (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))

Proof of Theorem dcubic1lem
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 3nn0 11903 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
3 expcl 13435 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
54sqvald 13495 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) = ((𝑈↑3) · (𝑈↑3)))
65oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) = (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)))
7 dcubic2.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ≠ 0)
8 3z 12003 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
101, 7, 9expne0d 13504 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
114, 4, 10divcan4d 11410 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = (𝑈↑3))
126, 11eqtr2d 2854 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈↑3) = (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)))
13 dcubic.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
14 dcubic.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
15 dcubic.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
16 3cn 11706 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
18 3ne0 11731 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≠ 0)
2015, 17, 19divcld 11404 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
2114, 20eqeltrd 2910 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
22 expcl 13435 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
2321, 2, 22sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
2423, 4, 10divcld 11404 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
2513, 24negsubd 10991 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
2613, 4, 10divcan4d 11410 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = 𝑄)
2726oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
2825, 27eqtr4d 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
29 dcubic.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3015, 29mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
3130negcld 10972 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
3224negcld 10972 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
3331, 32, 30, 13add42d 10857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
3415, 29mulneg2d 11082 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = -(𝑃 · 𝑋))
35 dcubic2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
3635negeqd 10868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -𝑋 = -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
3721, 1, 7divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
381, 37negsubdid 11000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)) = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
3936, 38eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -𝑋 = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
4039oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
4134, 40eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
421negcld 10972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
4315, 42, 37adddid 10653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))) = ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4415, 1mulneg2d 11082 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑈) = -(𝑃 · 𝑈))
4544oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4641, 43, 453eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4746oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
4815, 1mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
4948negcld 10972 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
5015, 37mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) ∈ ℂ)
5149, 50, 32addassd 10651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5247, 51eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5352oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
5431, 30addcomd 10830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)))
5530negidd 10975 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)) = 0)
5654, 55eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = 0)
5756oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5813, 32addcld 10648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
5958addid2d 10829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6057, 59eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6133, 53, 603eqtr3d 2861 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6213, 4mulcld 10649 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
6362, 23, 4, 10divsubdird 11443 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6428, 61, 633eqtr4d 2863 . . . . 5 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)))
6512, 64oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
661, 37negsubd 10991 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
6735, 66eqtr4d 2856 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)))
6867oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3))
6937negcld 10972 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
70 binom3 13573 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ) → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
711, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
721sqcld 13496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈↑2) ∈ ℂ)
7372, 37mulneg2d 11082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)))
7472, 21, 1, 7div12d 11440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)))
751sqvald 13495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈↑2) = (𝑈 · 𝑈))
7675oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈))
771, 1, 7divcan4d 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈) = 𝑈)
7876, 77eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = 𝑈)
7978oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
8074, 79eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
8180negeqd 10868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
8273, 81eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
8382oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = (3 · -(𝑀 · 𝑈)))
8421, 1mulcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · 𝑈) ∈ ℂ)
8517, 84mulneg2d 11082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · -(𝑀 · 𝑈)) = -(3 · (𝑀 · 𝑈)))
8617, 21, 1mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (3 · (𝑀 · 𝑈)))
8714oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · 𝑀) = (3 · (𝑃 / 3)))
8815, 17, 19divcan2d 11406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · (𝑃 / 3)) = 𝑃)
8987, 88eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · 𝑀) = 𝑃)
9089oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (𝑃 · 𝑈))
9186, 90eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (𝑀 · 𝑈)) = (𝑃 · 𝑈))
9291negeqd 10868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(3 · (𝑀 · 𝑈)) = -(𝑃 · 𝑈))
9383, 85, 923eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = -(𝑃 · 𝑈))
9493oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) = ((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)))
95 sqneg 13470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
9637, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
9737sqvald 13495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
9896, 97eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
9998oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
1001, 37, 37mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
10121, 1, 7divcan2d 11406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) = 𝑀)
102101oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
10399, 100, 1023eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
104103oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
10517, 21, 37mulassd 10652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
10689oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
107104, 105, 1063eqtr2d 2859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
108 3nn 11704 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
110 n2dvds3 15709 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 ∥ 3
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
112 oexpneg 15682 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
11337, 109, 111, 112syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
1142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
11521, 1, 7, 114expdivd 13512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑3) = ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
116115negeqd 10868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
117113, 116eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
118107, 117oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3)) = ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
11994, 118oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
12068, 71, 1193eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋↑3) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
12150, 32addcld 10648 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
1224, 49, 121addassd 10651 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
123120, 122eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
124123oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
12549, 121addcld 10648 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
12630, 13addcld 10648 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) ∈ ℂ)
1274, 125, 126addassd 10651 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
128124, 127eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
1294sqcld 13496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
13062, 23subcld 10985 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
131129, 130, 4, 10divdird 11442 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
13265, 128, 1313eqtr4d 2863 . . 3 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)))
133132eqeq1d 2820 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0))
134129, 130addcld 10648 . . 3 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
135134, 4, 10diveq0ad 11414 . 2 (𝜑 → (((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
136133, 135bitrd 280 1 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  cz 11969  cexp 13417  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  dcubic2  25349  dcubic1  25350
  Copyright terms: Public domain W3C validator