Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ddemeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ddemeas 30427
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
21rexri 10135 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
3 0le1 10589 . . . . . 6 0 ≤ 1
4 pnfge 12002 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ +∞
6 0xr 10124 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
7 pnfxr 10130 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
8 elicc1 12257 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
96, 7, 8mp2an 708 . . . . . 6 (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
102, 3, 5, 9mpbir3an 1263 . . . . 5 1 ∈ (0[,]+∞)
11 0e0iccpnf 12321 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1210, 11keepel 4188 . . . 4 if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
1312rgenw 2953 . . 3 𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
14 df-dde 30424 . . . 4 δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
1514fmpt 6421 . . 3 (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
1613, 15mpbi 220 . 2 δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
17 0ss 4005 . . 3 ∅ ⊆ ℝ
18 noel 3952 . . 3 ¬ 0 ∈ ∅
19 ddeval0 30426 . . 3 ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
2017, 18, 19mp2an 708 . 2 (δ‘∅) = 0
21 rabxm 3994 . . . . . . . . 9 𝑥 = ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
22 esumeq1 30224 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
24 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
25 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
26 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
27 rabexg 4844 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28 rabexg 4844 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
29 rabnc 3995 . . . . . . . . . 10 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
31 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦𝑥)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦𝑥)
33 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
34 elelpwi 4204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3532, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3616ffvelrni 6398 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
38 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦𝑥)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦𝑥)
40 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
4139, 40, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
4241, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
4324, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42esumsplit 30243 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
4423, 43syl5eq 2697 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
4544adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
46 esumeq1 30224 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
48 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
49 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
5049rabsnel 29467 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘𝑥)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘𝑥)
52 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
5349, 52rabsnt 4298 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
55 elelpwi 4204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
5655ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
5756adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
58 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
5958fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
6116ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
6259, 60, 61esumsn 30255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6357, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6457elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
65 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
66 ddeval1 30425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
6764, 65, 66syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
6863, 67eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
6948, 51, 54, 68syl12anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
7047, 69eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
71 df-disj 4653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦)
72 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
73 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
7473rmobidv 3161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦 ↔ ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7572, 74spcv 3330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦 → ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
7671, 75sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 → ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
77 rmo5 3192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7877biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7978imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
8076, 79sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
81 reusn 4294 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
8280, 81sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
83 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
8483cbvrabv 3230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
8584eqeq1i 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
8650ancri 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
8785, 86sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
8887eximi 1802 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
89 df-rex 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
9088, 89sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9182, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9291adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9370, 92r19.29a 3107 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
94 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
95 sspwuni 4643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ 𝑥 ⊆ ℝ)
9694, 95sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
97 eluni2 4472 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
9897biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ 𝑥)
99 ddeval1 30425 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑥) → (δ‘ 𝑥) = 1)
10096, 98, 99syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 1)
101100adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 1)
10293, 101eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
103 nfre1 3034 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦
104103nfn 1824 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦
10583elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106105exbii 1814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
107 neq0 3963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
108 df-rex 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
109106, 107, 1083bitr4i 292 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
110109biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
111110con1i 144 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
112104, 111esumeq1d 30225 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
113 esumnul 30238 . . . . . . . . . . 11 Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
114112, 113syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
115114adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
11697biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
117116con3i 150 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ 𝑥)
118 ddeval0 30426 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑥) → (δ‘ 𝑥) = 0)
11996, 117, 118syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 0)
120119adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 0)
121115, 120eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
122102, 121pm2.61dan 849 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
12341elpwid 4203 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
12483notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125124elrab 3396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
126125simprbi 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127126adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
128 ddeval0 30426 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
129123, 127, 128syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
130129esumeq2dv 30228 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
131 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
132131rabex 4845 . . . . . . . . . 10 {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
13326esum0 30239 . . . . . . . . . 10 ({𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
135130, 134syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136135adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
137122, 136oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0))
138 vuniex 6996 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
139138elpw 4197 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝑥 ⊆ ℝ)
140139biimpri 218 . . . . . . . 8 ( 𝑥 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
141 iccssxr 12294 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14216ffvelrni 6398 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
143141, 142sseldi 3634 . . . . . . . 8 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘ 𝑥) ∈ ℝ*)
144 xaddid1 12110 . . . . . . . 8 ((δ‘ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
14596, 140, 143, 1444syl 19 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
146145adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
14745, 137, 1463eqtrrd 2690 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
148147adantrl 752 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
149148ex 449 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦)))
150149rgen 2951 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
151 reex 10065 . . . 4 ℝ ∈ V
152 pwsiga 30321 . . . 4 (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
153151, 152ax-mp 5 . . 3 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
154 elrnsiga 30317 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ran sigAlgebra)
155 ismeas 30390 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦)))))
156153, 154, 155mp2b 10 . 2 (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))))
15716, 20, 150, 156mpbir3an 1263 1 δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  ∃!wreu 2943  ∃*wrmo 2944  {crab 2945  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  cle 10113   +𝑒 cxad 11982  [,]cicc 12216  Σ*cesum 30217  sigAlgebracsiga 30298  measurescmeas 30386  δcdde 30423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-esum 30218  df-siga 30299  df-meas 30387  df-dde 30424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator