MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec2dvds 15710
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec2dvds.2 𝐵 ∈ ℕ0
dec2dvds.3 (𝐵 · 2) = 𝐶
dec2dvds.4 𝐷 = (𝐶 + 1)
Assertion
Ref Expression
dec2dvds ¬ 2 ∥ 𝐴𝐷

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 11272 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
21nn0zi 11362 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
3 2z 11369 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
4 dvdsmul2 14947 . . . . . . . 8 ((5 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (5 · 2))
52, 3, 4mp2an 707 . . . . . . 7 2 ∥ (5 · 2)
6 5t2e10 11594 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75, 6breqtri 4648 . . . . . 6 2 ∥ 10
8 10nn0 11476 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ0
98nn0zi 11362 . . . . . . 7 10 ∈ ℤ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
1110nn0zi 11362 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℤ
12 dvdsmultr1 14962 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 10 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 10 → 2 ∥ (10 · 𝐴)))
133, 9, 11, 12mp3an 1421 . . . . . 6 (2 ∥ 10 → 2 ∥ (10 · 𝐴))
147, 13ax-mp 5 . . . . 5 2 ∥ (10 · 𝐴)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
1615nn0zi 11362 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℤ
17 dvdsmul2 14947 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝐵 · 2))
1816, 3, 17mp2an 707 . . . . . 6 2 ∥ (𝐵 · 2)
19 dec2dvds.3 . . . . . 6 (𝐵 · 2) = 𝐶
2018, 19breqtri 4648 . . . . 5 2 ∥ 𝐶
218, 10nn0mulcli 11291 . . . . . . 7 (10 · 𝐴) ∈ ℕ0
2221nn0zi 11362 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℤ
23 2nn0 11269 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2415, 23nn0mulcli 11291 . . . . . . . 8 (𝐵 · 2) ∈ ℕ0
2519, 24eqeltrri 2695 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
2625nn0zi 11362 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
27 dvds2add 14958 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ (10 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((2 ∥ (10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶)))
283, 22, 26, 27mp3an 1421 . . . . 5 ((2 ∥ (10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶))
2914, 20, 28mp2an 707 . . . 4 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶)
30 dfdec10 11457 . . . 4 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
3129, 30breqtrri 4650 . . 3 2 ∥ 𝐴𝐶
3210, 25deccl 11472 . . . . 5 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
3332nn0zi 11362 . . . 4 𝐴𝐶 ∈ ℤ
34 2nn 11145 . . . 4 2 ∈ ℕ
35 1lt2 11154 . . . 4 1 < 2
36 ndvdsp1 15078 . . . 4 ((𝐴𝐶 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1)))
3733, 34, 35, 36mp3an 1421 . . 3 (2 ∥ 𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1))
3831, 37ax-mp 5 . 2 ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1)
39 dec2dvds.4 . . . . 5 𝐷 = (𝐶 + 1)
4039eqcomi 2630 . . . 4 (𝐶 + 1) = 𝐷
41 eqid 2621 . . . 4 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶
4210, 25, 40, 41decsuc 11495 . . 3 (𝐴𝐶 + 1) = 𝐴𝐷
4342breq2i 4631 . 2 (2 ∥ (𝐴𝐶 + 1) ↔ 2 ∥ 𝐴𝐷)
4438, 43mtbi 312 1 ¬ 2 ∥ 𝐴𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cn 10980  2c2 11030  5c5 11033  0cn0 11252  cz 11337  cdc 11453  cdvds 14926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927
This theorem is referenced by:  11prm  15765  13prm  15766  17prm  15767  19prm  15768  23prm  15769  37prm  15771  43prm  15772  83prm  15773  139prm  15774  163prm  15775  317prm  15776  631prm  15777  257prm  40802  139prmALT  40840  31prm  40841  127prm  40844
  Copyright terms: Public domain W3C validator