MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec2dvds 15487
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec2dvds.2 𝐵 ∈ ℕ0
dec2dvds.3 (𝐵 · 2) = 𝐶
dec2dvds.4 𝐷 = (𝐶 + 1)
Assertion
Ref Expression
dec2dvds ¬ 2 ∥ 𝐴𝐷

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 11066 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
21nn0zi 11142 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
3 2z 11149 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
4 dvdsmul2 14709 . . . . . . . 8 ((5 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (5 · 2))
52, 3, 4mp2an 703 . . . . . . 7 2 ∥ (5 · 2)
6 5t2e10 11373 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75, 6breqtri 4506 . . . . . 6 2 ∥ 10
8 10nn0 11255 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ0
98nn0zi 11142 . . . . . . 7 10 ∈ ℤ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
1110nn0zi 11142 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℤ
12 dvdsmultr1 14724 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 10 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 10 → 2 ∥ (10 · 𝐴)))
133, 9, 11, 12mp3an 1415 . . . . . 6 (2 ∥ 10 → 2 ∥ (10 · 𝐴))
147, 13ax-mp 5 . . . . 5 2 ∥ (10 · 𝐴)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
1615nn0zi 11142 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℤ
17 dvdsmul2 14709 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝐵 · 2))
1816, 3, 17mp2an 703 . . . . . 6 2 ∥ (𝐵 · 2)
19 dec2dvds.3 . . . . . 6 (𝐵 · 2) = 𝐶
2018, 19breqtri 4506 . . . . 5 2 ∥ 𝐶
218, 10nn0mulcli 11085 . . . . . . 7 (10 · 𝐴) ∈ ℕ0
2221nn0zi 11142 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℤ
23 2nn0 11063 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2415, 23nn0mulcli 11085 . . . . . . . 8 (𝐵 · 2) ∈ ℕ0
2519, 24eqeltrri 2589 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
2625nn0zi 11142 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
27 dvds2add 14720 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ (10 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((2 ∥ (10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶)))
283, 22, 26, 27mp3an 1415 . . . . 5 ((2 ∥ (10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶))
2914, 20, 28mp2an 703 . . . 4 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶)
30 dfdec10 11236 . . . 4 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
3129, 30breqtrri 4508 . . 3 2 ∥ 𝐴𝐶
3210, 25deccl 11251 . . . . 5 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
3332nn0zi 11142 . . . 4 𝐴𝐶 ∈ ℤ
34 2nn 10939 . . . 4 2 ∈ ℕ
35 1lt2 10948 . . . 4 1 < 2
36 ndvdsp1 14843 . . . 4 ((𝐴𝐶 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1)))
3733, 34, 35, 36mp3an 1415 . . 3 (2 ∥ 𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1))
3831, 37ax-mp 5 . 2 ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1)
39 dec2dvds.4 . . . . 5 𝐷 = (𝐶 + 1)
4039eqcomi 2523 . . . 4 (𝐶 + 1) = 𝐷
41 eqid 2514 . . . 4 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶
4210, 25, 40, 41decsuc 11274 . . 3 (𝐴𝐶 + 1) = 𝐴𝐷
4342breq2i 4489 . 2 (2 ∥ (𝐴𝐶 + 1) ↔ 2 ∥ 𝐴𝐷)
4438, 43mtbi 310 1 ¬ 2 ∥ 𝐴𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938   class class class wbr 4481  (class class class)co 6425  0cc0 9690  1c1 9691   + caddc 9693   · cmul 9695   < clt 9828  cn 10774  2c2 10824  5c5 10827  0cn0 11046  cz 11117  cdc 11232  cdvds 14688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-sup 8106  df-inf 8107  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-4 10835  df-5 10836  df-6 10837  df-7 10838  df-8 10839  df-9 10840  df-n0 11047  df-z 11118  df-dec 11233  df-uz 11427  df-rp 11574  df-fz 12065  df-seq 12531  df-exp 12590  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681  df-dvds 14689
This theorem is referenced by:  11prm  15542  13prm  15543  17prm  15544  19prm  15545  23prm  15546  37prm  15548  43prm  15549  83prm  15550  139prm  15551  163prm  15552  317prm  15553  631prm  15554  257prm  39921  139prmALT  39959  31prm  39960  127prm  39963
  Copyright terms: Public domain W3C validator