MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec2nprm 15706
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5nprm.1 𝐴 ∈ ℕ
dec2nprm.2 𝐵 ∈ ℕ0
dec2nprm.3 (𝐵 · 2) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dec2nprm ¬ 𝐴𝐶 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec2nprm
StepHypRef Expression
1 5nn 11140 . . . 4 5 ∈ ℕ
2 dec5nprm.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 10996 . . 3 (5 · 𝐴) ∈ ℕ
4 dec2nprm.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 nnnn0addcl 11275 . . 3 (((5 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
63, 4, 5mp2an 707 . 2 ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
7 2nn 11137 . 2 2 ∈ ℕ
8 1nn0 11260 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 1lt5 11155 . . 3 1 < 5
101, 2, 4, 8, 9numlti 11497 . 2 1 < ((5 · 𝐴) + 𝐵)
11 1lt2 11146 . 2 1 < 2
121nncni 10982 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
132nncni 10982 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
14 2cn 11043 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
1512, 13, 14mul32i 10184 . . . . 5 ((5 · 𝐴) · 2) = ((5 · 2) · 𝐴)
16 5t2e10 11586 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1716oveq1i 6620 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
1815, 17eqtri 2643 . . . 4 ((5 · 𝐴) · 2) = (10 · 𝐴)
19 dec2nprm.3 . . . 4 (𝐵 · 2) = 𝐶
2018, 19oveq12i 6622 . . 3 (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2)) = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
213nncni 10982 . . . 4 (5 · 𝐴) ∈ ℂ
224nn0cni 11256 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2321, 22, 14adddiri 10003 . . 3 (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2))
24 dfdec10 11449 . . 3 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
2520, 23, 243eqtr4i 2653 . 2 (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = 𝐴𝐶
266, 7, 10, 11, 25nprmi 15337 1 ¬ 𝐴𝐶 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  cn 10972  2c2 11022  5c5 11025  0cn0 11244  cdc 11445  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-prm 15321
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator