MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec5dvds 15692
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3 𝐵 < 5
Assertion
Ref Expression
dec5dvds ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵

Proof of Theorem dec5dvds
StepHypRef Expression
1 5nn 11132 . 2 5 ∈ ℕ
2 2nn0 11253 . . 3 2 ∈ ℕ0
3 dec5dvds.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
42, 3nn0mulcli 11275 . 2 (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
5 dec5dvds.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ
6 5cn 11044 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
7 2cn 11035 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
83nn0cni 11248 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
96, 7, 8mulassi 9993 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (5 · (2 · 𝐴))
10 5t2e10 11578 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1110oveq1i 6614 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
129, 11eqtr3i 2645 . . . 4 (5 · (2 · 𝐴)) = (10 · 𝐴)
1312oveq1i 6614 . . 3 ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
14 dfdec10 11441 . . 3 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1513, 14eqtr4i 2646 . 2 ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = 𝐴𝐵
16 dec5dvds.3 . 2 𝐵 < 5
171, 4, 5, 15, 16ndvdsi 15060 1 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cn 10964  2c2 11014  5c5 11017  0cn0 11236  cdc 11437  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  dec5dvds2  15693  43prm  15753  83prm  15754  163prm  15756  631prm  15758  31prm  40808
  Copyright terms: Public domain W3C validator