MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec5dvds 16388
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3 𝐵 < 5
Assertion
Ref Expression
dec5dvds ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵

Proof of Theorem dec5dvds
StepHypRef Expression
1 5nn 11711 . 2 5 ∈ ℕ
2 2nn0 11902 . . 3 2 ∈ ℕ0
3 dec5dvds.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
42, 3nn0mulcli 11923 . 2 (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
5 dec5dvds.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ
6 5cn 11713 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
7 2cn 11700 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
83nn0cni 11897 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
96, 7, 8mulassi 10640 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (5 · (2 · 𝐴))
10 5t2e10 12186 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1110oveq1i 7155 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
129, 11eqtr3i 2843 . . . 4 (5 · (2 · 𝐴)) = (10 · 𝐴)
1312oveq1i 7155 . . 3 ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
14 dfdec10 12089 . . 3 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1513, 14eqtr4i 2844 . 2 ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = 𝐴𝐵
16 dec5dvds.3 . 2 𝐵 < 5
171, 4, 5, 15, 16ndvdsi 15751 1 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cn 11626  2c2 11680  5c5 11683  0cn0 11885  cdc 12086  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  dec5dvds2  16389  43prm  16443  83prm  16444  163prm  16446  631prm  16448  31prm  43637
  Copyright terms: Public domain W3C validator