Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec5dvds2 15700
 Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3 𝐵 < 5
dec5dvds2.4 (5 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dec5dvds2 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐶

Proof of Theorem dec5dvds2
StepHypRef Expression
1 dec5dvds.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
2 dec5dvds.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ
3 dec5dvds.3 . . 3 𝐵 < 5
41, 2, 3dec5dvds 15699 . 2 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵
5 5nn0 11263 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
65nn0zi 11353 . . . 4 5 ∈ ℤ
72nnnn0i 11251 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
81, 7deccl 11463 . . . . 5 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
98nn0zi 11353 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℤ
10 dvdsadd 14955 . . . 4 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵 ∈ ℤ) → (5 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + 𝐴𝐵)))
116, 9, 10mp2an 707 . . 3 (5 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + 𝐴𝐵))
12 0nn0 11258 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
135dec0h 11473 . . . . 5 5 = 05
14 eqid 2621 . . . . 5 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
151nn0cni 11255 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1615addid2i 10175 . . . . 5 (0 + 𝐴) = 𝐴
17 dec5dvds2.4 . . . . 5 (5 + 𝐵) = 𝐶
1812, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17decadd 11521 . . . 4 (5 + 𝐴𝐵) = 𝐴𝐶
1918breq2i 4626 . . 3 (5 ∥ (5 + 𝐴𝐵) ↔ 5 ∥ 𝐴𝐶)
2011, 19bitri 264 . 2 (5 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ 𝐴𝐶)
214, 20mtbi 312 1 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐶
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  0cc0 9887   + caddc 9890   < clt 10025  ℕcn 10971  5c5 11024  ℕ0cn0 11243  ℤcz 11328  ;cdc 11444   ∥ cdvds 14914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915 This theorem is referenced by:  37prm  15759  139prm  15762  317prm  15764  257prm  40793  139prmALT  40831  127prm  40835
 Copyright terms: Public domain W3C validator