Theorem dec5nprm 16401

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
dec5nprm	⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11709	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 11661	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ
4		peano2nn 11649	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ
6		5nn 11722	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
7		1nn0 11912	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		1lt2 11807	. . 3 ⊢ 1 < 2
9	1, 2, 7, 7, 8	numlti 12134	. 2 ⊢ 1 < ((2 · 𝐴) + 1)
10		1lt5 11816	. 2 ⊢ 1 < 5
11	1	nncni 11647	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	2	nncni 11647	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13		5cn 11724	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
14	11, 12, 13	mul32i 10835	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = ((2 · 5) · 𝐴)
15		5t2e10 12197	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	13, 11, 15	mulcomli 10649	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	16	oveq1i 7165	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	14, 17	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = (;10 · 𝐴)
19	13	mulid2i 10645	. . . 4 ⊢ (1 · 5) = 5
20	18, 19	oveq12i 7167	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5)) = ((;10 · 𝐴) + 5)
21	3	nncni 11647	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
22		ax-1cn 10594	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	21, 22, 13	adddiri 10653	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5))
24		dfdec10 12100	. . 3 ⊢ ;𝐴5 = ((;10 · 𝐴) + 5)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2854	. 2 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = ;𝐴5
26	5, 6, 9, 10, 25	nprmi 16032	1 ⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  ℕcn 11637  2c2 11691  5c5 11694  ;cdc 12097  ℙcprime 16014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-prm 16015

This theorem is referenced by: (None)