MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decaddci 11792
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4 𝑀 = 𝐴𝐵
decaddci.5 (𝐴 + 1) = 𝐷
decaddci.6 𝐶 ∈ ℕ0
decaddci.7 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
Assertion
Ref Expression
decaddci (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decaddi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11519 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decaddi.3 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decaddi.4 . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 11734 . 2 𝑁 = 0𝑁
71nn0cni 11516 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
87addid1i 10435 . . . 4 (𝐴 + 0) = 𝐴
98oveq1i 6824 . . 3 ((𝐴 + 0) + 1) = (𝐴 + 1)
10 decaddci.5 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐷
119, 10eqtri 2782 . 2 ((𝐴 + 0) + 1) = 𝐷
12 decaddci.6 . 2 𝐶 ∈ ℕ0
13 decaddci.7 . 2 (𝐵 + 𝑁) = 1𝐶
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 11784 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  0cn0 11504  cdc 11705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-dec 11706
This theorem is referenced by:  decaddci2  11793  decaddci2OLD  11794  6t4e24  11855  7t3e21  11861  7t5e35  11863  7t6e42  11864  8t3e24  11867  8t4e32  11868  8t7e56  11873  8t8e64  11874  9t3e27  11876  9t4e36  11877  9t5e45  11878  9t6e54  11879  9t7e63  11880  9t8e72  11881  9t9e81  11882  2exp8  16018  prmlem2  16049  43prm  16051  83prm  16052  317prm  16055  631prm  16056  1259lem1  16060  1259lem2  16061  1259lem3  16062  1259lem4  16063  1259lem5  16064  2503lem1  16066  2503lem2  16067  2503lem3  16068  4001lem1  16070  4001lem2  16071  4001lem4  16073  log2ublem3  24895  log2ub  24896  ex-exp  27639  hgt750lem2  31060  fmtno5lem1  41993  fmtno5lem4  41996  257prm  42001  fmtno4nprmfac193  42014  fmtno5fac  42022  127prm  42043  2exp11  42045
  Copyright terms: Public domain W3C validator