Theorem decbin3 11722

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin3	⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Proof of Theorem decbin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11349	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		decbin.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		2nn0 11347	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		2p1e3 11189	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
5	2	decbin2 11721	. . . 4 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
6	5	eqcomi 2660	. . 3 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((4 · 𝐴) + 2)
7	1, 2, 3, 4, 6	numsuc 11549	. 2 ⊢ ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1) = ((4 · 𝐴) + 3)
8	7	eqcomi 2660	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  ℕ₀cn0 11330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331

This theorem is referenced by: (None)