MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccl 11497
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
deccl 𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 11479 . 2 𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2 9nn0 11301 . . . 4 9 ∈ ℕ0
3 1nn0 11293 . . . 4 1 ∈ ℕ0
42, 3nn0addcli 11315 . . 3 (9 + 1) ∈ ℕ0
5 deccl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
6 deccl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 11495 . 2 (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
81, 7eqeltri 2695 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1988  (class class class)co 6635  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  9c9 11062  0cn0 11277  cdc 11478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-dec 11479
This theorem is referenced by:  10nn0  11501  3declth  11522  3decltc  11523  3decltcOLD  11524  decleh  11526  declecOLD  11529  sq10  13031  bpoly4  14771  fsumcube  14772  3dvds2dec  15037  3dvds2decOLD  15038  dec2dvds  15748  dec5dvds2  15750  2exp8  15777  2exp16  15778  prmlem2  15808  37prm  15809  43prm  15810  83prm  15811  139prm  15812  163prm  15813  317prm  15814  631prm  15815  1259lem1  15819  1259lem2  15820  1259lem3  15821  1259lem4  15822  1259lem5  15823  1259prm  15824  2503lem1  15825  2503lem2  15826  2503lem3  15827  2503prm  15828  4001lem1  15829  4001lem2  15830  4001lem3  15831  4001lem4  15832  4001prm  15833  slotsbhcdif  16061  cnfldfun  19739  tnglem  22425  quart1cl  24562  quart1lem  24563  quart1  24564  log2ublem3  24656  log2ub  24657  log2le1  24658  birthday  24662  bpos1  24989  bpos  24999  1kp2ke3k  27273  dp3mul10  29580  dpmul1000  29581  dpadd  29593  dpmul  29595  dpmul4  29596  hgt750lemd  30700  hgt750lem  30703  hgt750lem2  30704  hgt750leme  30710  tgoldbachgnn  30711  tgoldbachgt  30715  kur14lem9  31170  inductionexd  38273  fmtno3  41228  fmtno4  41229  fmtno5lem1  41230  fmtno5lem2  41231  fmtno5lem3  41232  fmtno5lem4  41233  fmtno5  41234  257prm  41238  fmtno4prmfac  41249  fmtno4nprmfac193  41251  fmtno5faclem1  41256  fmtno5faclem2  41257  fmtno5faclem3  41258  fmtno5fac  41259  fmtno5nprm  41260  139prmALT  41276  31prm  41277  127prm  41280  m7prm  41281  2exp11  41282  m11nprm  41283  evengpoap3  41452  bgoldbachlt  41466  tgoldbachlt  41469  tgoldbachltOLD  41475
  Copyright terms: Public domain W3C validator