MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccl 11341
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
deccl 𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 11323 . 2 𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2 9nn0 11160 . . . 4 9 ∈ ℕ0
3 1nn0 11152 . . . 4 1 ∈ ℕ0
42, 3nn0addcli 11174 . . 3 (9 + 1) ∈ ℕ0
5 deccl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
6 deccl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 11339 . 2 (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
81, 7eqeltri 2680 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  (class class class)co 6524  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  9c9 10921  0cn0 11136  cdc 11322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-dec 11323
This theorem is referenced by:  10nn0  11345  3declth  11366  3decltc  11367  3decltcOLD  11368  decleh  11370  declecOLD  11373  sq10  12862  bpoly4  14572  fsumcube  14573  3dvds2dec  14837  3dvds2decOLD  14838  dec2dvds  15548  dec5dvds2  15550  2exp8  15577  2exp16  15578  prmlem2  15608  37prm  15609  43prm  15610  83prm  15611  139prm  15612  163prm  15613  317prm  15614  631prm  15615  1259lem1  15619  1259lem2  15620  1259lem3  15621  1259lem4  15622  1259lem5  15623  1259prm  15624  2503lem1  15625  2503lem2  15626  2503lem3  15627  2503prm  15628  4001lem1  15629  4001lem2  15630  4001lem3  15631  4001lem4  15632  4001prm  15633  slotsbhcdif  15846  tnglem  22189  quart1cl  24295  quart1lem  24296  quart1  24297  log2ublem3  24389  log2ub  24390  log2le1  24391  birthday  24395  bpos1  24722  bpos  24732  1kp2ke3k  26458  kur14lem9  30253  inductionexd  37273  fmtno3  39803  fmtno4  39804  fmtno5lem1  39805  fmtno5lem2  39806  fmtno5lem3  39807  fmtno5lem4  39808  fmtno5  39809  257prm  39813  fmtno4prmfac  39824  fmtno4nprmfac193  39826  fmtno5faclem1  39831  fmtno5faclem2  39832  fmtno5faclem3  39833  fmtno5fac  39834  fmtno5nprm  39835  139prmALT  39851  31prm  39852  127prm  39855  m7prm  39856  2exp11  39857  m11nprm  39858  evengpoap3  40017  bgoldbachlt  40029  tgoldbachlt  40032  tgoldbachltOLD  40039
  Copyright terms: Public domain W3C validator