Theorem deccl 12116

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
deccl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
deccl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12102	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2		9nn0 11924	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 11916	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 11937	. . 3 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ0
5		deccl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		deccl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12114	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	1, 7	eqeltri 2911	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  9c9 11702  ℕ₀cn0 11900  ;cdc 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102

This theorem is referenced by:  10nn0  12119  3declth  12133  3decltc  12134  decleh  12136  decmul1  12165  bpoly4  15415  fsumcube  15416  3dvds2dec  15684  dec2dvds  16401  dec5dvds2  16403  2exp8  16425  2exp16  16426  prmlem2  16455  37prm  16456  43prm  16457  83prm  16458  139prm  16459  163prm  16460  317prm  16461  631prm  16462  1259lem1  16466  1259lem2  16467  1259lem3  16468  1259lem4  16469  1259lem5  16470  1259prm  16471  2503lem1  16472  2503lem2  16473  2503lem3  16474  2503prm  16475  4001lem1  16476  4001lem2  16477  4001lem3  16478  4001lem4  16479  4001prm  16480  slotsbhcdif  16695  cnfldfun  20559  tnglem  23251  quart1cl  25434  quart1lem  25435  quart1  25436  log2ublem3  25528  log2ub  25529  log2le1  25530  birthday  25534  bpos1  25861  bpos  25871  1kp2ke3k  28227  9p10ne21  28251  dp3mul10  30576  dpmul1000  30577  dpadd  30589  dpmul  30591  dpmul4  30592  hgt750lemd  31921  hgt750lem  31924  hgt750lem2  31925  hgt750leme  31931  tgoldbachgnn  31932  tgoldbachgt  31936  kur14lem9  32463  sqn5i  39178  decpmulnc  39180  decpmul  39181  sqdeccom12  39182  sq3deccom12  39183  235t711  39184  ex-decpmul  39185  inductionexd  40512  fmtno3  43720  fmtno4  43721  fmtno5lem1  43722  fmtno5lem2  43723  fmtno5lem3  43724  fmtno5lem4  43725  fmtno5  43726  257prm  43730  fmtno4prmfac  43741  fmtno4nprmfac193  43743  fmtno5faclem1  43748  fmtno5faclem2  43749  fmtno5faclem3  43750  fmtno5fac  43751  fmtno5nprm  43752  139prmALT  43766  31prm  43767  127prm  43770  m7prm  43771  2exp11  43772  m11nprm  43773  11t31e341  43904  2exp340mod341  43905  341fppr2  43906  nfermltl2rev  43915  evengpoap3  43971  bgoldbachlt  43985  tgoldbachlt  43988