MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decexp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decexp2 15710
Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decexp2.1 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2 (𝑀 + 2) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
decexp2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2
StepHypRef Expression
1 2cn 11042 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 2nn0 11260 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
3 decexp2.1 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
42, 3nn0expcli 12833 . . . . . 6 (2↑𝑀) ∈ ℕ0
54nn0cni 11255 . . . . 5 (2↑𝑀) ∈ ℂ
61, 5mulcli 9996 . . . 4 (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7 expp1 12814 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
81, 3, 7mp2an 707 . . . . . 6 (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
95, 1mulcomi 9997 . . . . . 6 ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
108, 9eqtr2i 2644 . . . . 5 (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
1110oveq1i 6620 . . . 4 ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
126, 1, 11mulcomli 9998 . . 3 (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
134decbin0 11633 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14 peano2nn0 11284 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
153, 14ax-mp 5 . . . 4 (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16 expp1 12814 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
171, 15, 16mp2an 707 . . 3 (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
1812, 13, 173eqtr4i 2653 . 2 (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19 4nn0 11262 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2019, 4nn0mulcli 11282 . . . 4 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
2120nn0cni 11255 . . 3 (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
2221addid1i 10174 . 2 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
233nn0cni 11255 . . . . 5 𝑀 ∈ ℂ
24 ax-1cn 9945 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2523, 24, 24addassi 9999 . . . 4 ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26 df-2 11030 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2726oveq2i 6621 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28 decexp2.2 . . . 4 (𝑀 + 2) = 𝑁
2925, 27, 283eqtr2ri 2650 . . 3 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
3029oveq2i 6621 . 2 (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
3118, 22, 303eqtr4i 2653 1 ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  2c2 11021  4c4 11023  0cn0 11243  cexp 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-seq 12749  df-exp 12808
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator