Theorem decexp2 16403

Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decexp2.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2	⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
decexp2	⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11704	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2nn0 11906	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		decexp2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0expcli 13447	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 11901	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℂ
6	1, 5	mulcli 10640	. . . 4 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7		expp1 13428	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
8	1, 3, 7	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
9	5, 1	mulcomi 10641	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
10	8, 9	eqtr2i 2843	. . . . 5 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
11	10	oveq1i 7158	. . . 4 ⊢ ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
12	6, 1, 11	mulcomli 10642	. . 3 ⊢ (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
13	4	decbin0 12230	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14		peano2nn0 11929	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16		expp1 13428	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
17	1, 15, 16	mp2an 690	. . 3 ⊢ (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
18	12, 13, 17	3eqtr4i 2852	. 2 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19		4nn0 11908	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20	19, 4	nn0mulcli 11927	. . . 4 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 11901	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
22	21	addid1i 10819	. 2 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
23	3	nn0cni 11901	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
24		ax-1cn 10587	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 24	addassi 10643	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26		df-2 11692	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
27	26	oveq2i 7159	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28		decexp2.2	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁
29	25, 27, 28	3eqtr2ri 2849	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
30	29	oveq2i 7159	. 2 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
31	18, 22, 30	3eqtr4i 2852	1 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  2c2 11684  4c4 11686  ℕ₀cn0 11889  ↑cexp 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-exp 13422

This theorem is referenced by: (None)