MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declti 11738
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.a 𝐴 ∈ ℕ
declti.b 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l 𝐶 < 10
Assertion
Ref Expression
declti 𝐶 < 𝐴𝐵

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 11706 . . 3 10 ∈ ℕ
2 declti.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ
3 declti.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 declti.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 declti.l . . 3 𝐶 < 10
61, 2, 3, 4, 5numlti 11737 . 2 𝐶 < ((10 · 𝐴) + 𝐵)
7 dfdec10 11689 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7breqtrri 4831 1 𝐶 < 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cn 11212  0cn0 11484  cdc 11685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686
This theorem is referenced by:  decltdi  11739  fsumcube  14990  5prm  16017  7prm  16019  11prm  16024  13prm  16025  17prm  16026  19prm  16027  23prm  16028  37prm  16030  43prm  16031  83prm  16032  139prm  16033  163prm  16034  317prm  16035  631prm  16036  1259lem5  16044  2503prm  16049  4001prm  16054  ressds  16275  resshom  16280  ressco  16281  slotsbhcdif  16282  oppcbas  16579  rescbas  16690  rescabs  16694  catstr  16818  mgpds  18699  srads  19388  thlbas  20242  ressunif  22267  tuslem  22272  setsmsds  22482  tmslem  22488  tnglem  22645  tngds  22653  log2le1  24876  bpos1  25207  bposlem9  25216  trkgstr  25542  ttgbas  25956  ttgplusg  25957  ttgvsca  25959  eengstr  26059  baseltedgf  26071  zlmds  30317  hgt750lem  31038  257prm  41983  fmtno4prmfac193  41995  fmtno5nprm  42005  139prmALT  42021  127prm  42025  tgblthelfgott  42213
  Copyright terms: Public domain W3C validator