MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decma2c 12139
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplier 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decma2c.p 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.f 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.g 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.e ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.2 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decma2c ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 12104 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 12089 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2841 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 12089 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2841 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decma2c.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
13 decma2c.f . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
14 decma2c.g . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
15 decma2c.e . . 3 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16 decma2c.2 . . . 4 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
17 dfdec10 12089 . . . 4 𝐺𝐹 = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
1816, 17eqtri 2841 . . 3 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 12132 . 2 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
20 dfdec10 12089 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
2119, 20eqtr4i 2844 1 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  0cn0 11885  cdc 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087
This theorem is referenced by:  2exp16  16412  43prm  16443  83prm  16444  139prm  16445  163prm  16446  317prm  16447  631prm  16448  1259lem1  16452  1259lem2  16453  1259lem3  16454  1259lem4  16455  1259lem5  16456  2503lem1  16458  2503lem2  16459  2503lem3  16460  2503prm  16461  4001lem1  16462  4001lem2  16463  4001lem3  16464  4001lem4  16465  4001prm  16466  log2ublem3  25453  log2ub  25454  235t711  39055  fmtno4nprmfac193  43613  139prmALT  43636  127prm  43640  m11nprm  43643
  Copyright terms: Public domain W3C validator