MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul1 11419
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 10nn0 11350 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 11331 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2631 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 0nn0 11156 . . 3 0 ∈ ℕ0
103, 2nn0mulcli 11180 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
1110nn0cni 11153 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
1211addid1i 10074 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13 decmul1.c . . . 4 (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
1412, 13eqtri 2631 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15 decmul1.d . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
1615oveq2i 6537 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
174, 2nn0mulcli 11180 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
1817nn0cni 11153 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
1918addid2i 10075 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
201nn0cni 11153 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2120mul01i 10077 . . . . . 6 (10 · 0) = 0
2221eqcomi 2618 . . . . 5 0 = (10 · 0)
2322oveq1i 6536 . . . 4 (0 + 𝐷) = ((10 · 0) + 𝐷)
2416, 19, 233eqtr3i 2639 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 0) + 𝐷)
251, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24nummul1c 11396 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
26 dfdec10 11331 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2725, 26eqtr4i 2634 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6526  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  0cn0 11141  cdc 11327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-dec 11328
This theorem is referenced by:  sq10  12867  37prm  15614  1259lem3  15626  1259lem4  15627  2503lem1  15630  2503lem2  15631  4001lem1  15634  4001lem2  15635  4001lem3  15636  4001prm  15638  log2ublem3  24419  log2ub  24420  bpos1  24752  ex-prmo  26501  fmtno5lem3  39789  fmtno4prmfac193  39807  fmtno4nprmfac193  39808  fmtno5faclem1  39813  fmtno5faclem2  39814  2exp7  39836
  Copyright terms: Public domain W3C validator