MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul1 11623
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 10nn0 11554 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 11535 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2673 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 0nn0 11345 . . 3 0 ∈ ℕ0
103, 2nn0mulcli 11369 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
1110nn0cni 11342 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
1211addid1i 10261 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13 decmul1.c . . . 4 (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
1412, 13eqtri 2673 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15 decmul1.d . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
1615oveq2i 6701 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
174, 2nn0mulcli 11369 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
1817nn0cni 11342 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
1918addid2i 10262 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
201nn0cni 11342 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2120mul01i 10264 . . . . . 6 (10 · 0) = 0
2221eqcomi 2660 . . . . 5 0 = (10 · 0)
2322oveq1i 6700 . . . 4 (0 + 𝐷) = ((10 · 0) + 𝐷)
2416, 19, 233eqtr3i 2681 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 0) + 𝐷)
251, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24nummul1c 11600 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
26 dfdec10 11535 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2725, 26eqtr4i 2676 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330  cdc 11531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-dec 11532
This theorem is referenced by:  sq10  13088  37prm  15875  1259lem3  15887  1259lem4  15888  2503lem1  15891  2503lem2  15892  4001lem1  15895  4001lem2  15896  4001lem3  15897  4001prm  15899  log2ublem3  24720  log2ub  24721  bpos1  25053  ex-prmo  27446  dpmul  29749  fmtno5lem3  41792  fmtno4prmfac193  41810  fmtno4nprmfac193  41811  fmtno5faclem1  41816  fmtno5faclem2  41817  2exp7  41839
  Copyright terms: Public domain W3C validator