Theorem decmul1 11623

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 11554	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 11535	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2673	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		0nn0 11345	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	3, 2	nn0mulcli 11369	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 11342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addid1i 10261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13		decmul1.c	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
14	12, 13	eqtri 2673	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15		decmul1.d	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
16	15	oveq2i 6701	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
17	4, 2	nn0mulcli 11369	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 11342	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
19	18	addid2i 10262	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
20	1	nn0cni 11342	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
21	20	mul01i 10264	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 0) = 0
22	21	eqcomi 2660	. . . . 5 ⊢ 0 = (;10 · 0)
23	22	oveq1i 6700	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐷) = ((;10 · 0) + 𝐷)
24	16, 19, 23	3eqtr3i 2681	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((;10 · 0) + 𝐷)
25	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24	nummul1c 11600	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
26		dfdec10 11535	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
27	25, 26	eqtr4i 2676	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕ₀cn0 11330  ;cdc 11531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-dec 11532

This theorem is referenced by:  sq10  13088  37prm  15875  1259lem3  15887  1259lem4  15888  2503lem1  15891  2503lem2  15892  4001lem1  15895  4001lem2  15896  4001lem3  15897  4001prm  15899  log2ublem3  24720  log2ub  24721  bpos1  25053  ex-prmo  27446  dpmul  29749  fmtno5lem3  41792  fmtno4prmfac193  41810  fmtno4nprmfac193  41811  fmtno5faclem1  41816  fmtno5faclem2  41817  2exp7  41839