MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decnncl 11710
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
decnncl 𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 dfdec10 11689 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 10nn0 11708 . . 3 10 ∈ ℕ0
3 decnncl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decnncl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ
52, 3, 4numnncl 11699 . 2 ((10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
61, 5eqeltri 2835 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cn 11212  0cn0 11484  cdc 11685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-dec 11686
This theorem is referenced by:  11prm  16024  13prm  16025  17prm  16026  19prm  16027  23prm  16028  37prm  16030  43prm  16031  83prm  16032  139prm  16033  163prm  16034  317prm  16035  631prm  16036  1259lem1  16040  1259lem2  16041  1259lem3  16042  1259lem4  16043  1259lem5  16044  1259prm  16045  2503lem1  16046  2503lem2  16047  2503lem3  16048  2503prm  16049  4001lem1  16050  4001lem2  16051  4001lem3  16052  4001lem4  16053  4001prm  16054  ocndx  16262  ocid  16263  dsndx  16264  dsid  16265  unifndx  16266  unifid  16267  odrngstr  16268  ressds  16275  homndx  16276  homid  16277  ccondx  16278  ccoid  16279  resshom  16280  ressco  16281  imasvalstr  16314  prdsvalstr  16315  oppchomfval  16575  oppcbas  16579  rescco  16693  catstr  16818  ipostr  17354  mgpds  18699  srads  19388  cnfldstr  19950  ressunif  22267  tuslem  22272  tmslem  22488  mcubic  24773  cubic2  24774  cubic  24775  quart1cl  24780  quart1lem  24781  quart1  24782  quartlem1  24783  quartlem2  24784  log2ub  24875  log2le1  24876  birthday  24880  bposlem8  25215  bposlem9  25216  pntlemd  25482  pntlema  25484  pntlemb  25485  pntlemf  25493  pntlemo  25495  itvndx  25538  lngndx  25539  itvid  25540  lngid  25541  trkgstr  25542  ttgval  25954  ttglem  25955  ttgds  25960  eengstr  26059  edgfid  26068  edgfndxnn  26069  edgfndxid  26070  baseltedgf  26071  257prm  41983  fmtno4prmfac  41994  fmtno4prmfac193  41995  fmtno4nprmfac193  41996  fmtno5nprm  42005  139prmALT  42021  127prm  42025  3exp4mod41  42043  41prothprmlem2  42045  bgoldbtbndlem1  42203  tgblthelfgott  42213  tgoldbachlt  42214  tgoldbach  42215  bgoldbachltOLD  42217  tgblthelfgottOLD  42219  tgoldbachltOLD  42220  tgoldbachOLD  42222
  Copyright terms: Public domain W3C validator