MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmate Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmate 20552
Description: An entry of the matrix consisting of the coefficients in the entries of a polynomial matrix is the corresponding coefficient in the polynomial entry of the given matrix. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmate.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmate.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
decpmate (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝐾))

Proof of Theorem decpmate
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmate.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 decpmate.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2decpmatval 20551 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
433adant1 1077 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
54adantr 481 . 2 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
6 oveq12 6644 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
76fveq2d 6182 . . . 4 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝐼𝑀𝐽)))
87fveq1d 6180 . . 3 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝐾))
98adantl 482 . 2 ((((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝐾))
10 simprl 793 . 2 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
11 simprr 795 . 2 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
12 fvexd 6190 . 2 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝐾) ∈ V)
135, 9, 10, 11, 12ovmpt2d 6773 1 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  0cn0 11277  Basecbs 15838  Poly1cpl1 19528  coe1cco1 19529   Mat cmat 20194   decompPMat cdecpmat 20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-ot 4177  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-prds 16089  df-pws 16091  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-dsmm 20057  df-frlm 20072  df-mat 20195  df-decpmat 20549
This theorem is referenced by:  decpmataa0  20554  decpmatmullem  20557  decpmatmul  20558  pmatcollpw1lem1  20560  pmatcollpw1lem2  20561  pmatcollpw2lem  20563  pmatcollpwscmatlem2  20576
  Copyright terms: Public domain W3C validator