Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatmullem 20490
 Description: Lemma for decpmatmul 20491. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmatmul.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmatmul.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
decpmatmullem (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝐼,𝑙,𝑡   𝐽,𝑙,𝑡   𝐾,𝑙,𝑡   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑅,𝑙,𝑡   𝑈,𝑙,𝑡   𝑊,𝑙,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝐶(𝑡,𝑙)   𝑃(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem decpmatmullem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
213ad2ant1 1080 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 decpmatmul.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 decpmatmul.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
53, 4pmatring 20412 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
65adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝐶 ∈ Ring)
7 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → 𝑈𝐵)
87adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑈𝐵)
9 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → 𝑊𝐵)
109adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
11 decpmatmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
12 eqid 2626 . . . . . 6 (.r𝐶) = (.r𝐶)
1311, 12ringcl 18477 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐵𝑊𝐵) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
146, 8, 10, 13syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
15143adant3 1079 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵)
16 simp33 1097 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17 3simpa 1056 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
18173ad2ant3 1082 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
193, 4, 11decpmate 20485 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈(.r𝐶)𝑊) ∈ 𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
202, 15, 16, 18, 19syl31anc 1326 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾))
213ply1ring 19532 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
234, 22matmulr 20158 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐶))
2423eqcomd 2632 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
2521, 24sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
26253ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (.r𝐶) = (𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
2726oveqd 6622 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈(.r𝐶)𝑊) = (𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊))
2827oveqd 6622 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽) = (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽))
29 eqid 2626 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
30 eqid 2626 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
3121adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
32313ad2ant1 1080 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
33 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
34333ad2ant1 1080 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
354, 29matbas2 20141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
3635, 11syl6reqr 2679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3721, 36sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3837eleq2d 2689 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈𝐵𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
3938biimpcd 239 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4140impcom 446 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
42413adant3 1079 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
4321, 35sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐶))
4443, 11syl6reqr 2679 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐵 = ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
4544eleq2d 2689 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑊𝐵𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4645biimpcd 239 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4746adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐵𝑊𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
4847impcom 446 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
49483adant3 1079 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ ((Base‘𝑃) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
50 simp31 1095 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐼𝑁)
51 simp32 1096 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐽𝑁)
5222, 29, 30, 32, 34, 34, 34, 42, 49, 50, 51mamufv 20107 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(𝑃 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
5328, 52eqtrd 2660 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽) = (𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))
5453fveq2d 6154 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))))))
5554fveq1d 6152 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝐼(𝑈(.r𝐶)𝑊)𝐽))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾))
5632adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5750adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐼𝑁)
58 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑡𝑁)
59 simpl2l 1112 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑈𝐵)
604, 29, 11, 57, 58, 59matecld 20146 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃))
6151adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐽𝑁)
62 simpl2r 1113 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑊𝐵)
634, 29, 11, 58, 61, 62matecld 20146 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
6429, 30ringcl 18477 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
6556, 60, 63, 64syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
6665ralrimiva 2965 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑡𝑁 ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
673, 29, 2, 16, 66, 34coe1fzgsumd 19586 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))))
68 simpl1r 1111 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69 eqid 2626 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
703, 30, 69, 29coe1mul 19554 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑈𝑡) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡𝑊𝐽) ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))))))
7168, 60, 63, 70syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))))))
72 oveq2 6613 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (0...𝑘) = (0...𝐾))
73 oveq1 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘𝑙) = (𝐾𝑙))
7473fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)) = ((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))
7574oveq2d 6621 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))) = (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))
7672, 75mpteq12dv 4698 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))))
7776oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
7877adantl 482 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
7916adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
80 ovex 6633 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))) ∈ V
8180a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))) ∈ V)
8271, 78, 79, 81fvmptd 6246 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑡𝑁) → ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))
8382mpteq2dva 4709 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾)) = (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙)))))))
8483oveq2d 6621 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((coe1‘((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
8567, 84eqtrd 2660 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑡𝑁 ↦ ((𝐼𝑈𝑡)(.r𝑃)(𝑡𝑊𝐽)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
8620, 55, 853eqtrd 2664 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝐼((𝑈(.r𝐶)𝑊) decompPMat 𝐾)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑡𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝐾) ↦ (((coe1‘(𝐼𝑈𝑡))‘𝑙)(.r𝑅)((coe1‘(𝑡𝑊𝐽))‘(𝐾𝑙))))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191  ⟨cotp 4161   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↑𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  0cc0 9881   − cmin 10211  ℕ0cn0 11237  ...cfz 12265  Basecbs 15776  .rcmulr 15858   Σg cgsu 16017  Ringcrg 18463  Poly1cpl1 19461  coe1cco1 19462   maMul cmmul 20103   Mat cmat 20127   decompPMat cdecpmat 20481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-prds 16024  df-pws 16026  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-psr 19270  df-mpl 19272  df-opsr 19274  df-psr1 19464  df-ply1 19466  df-coe1 19467  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-mamu 20104  df-mat 20128  df-decpmat 20482 This theorem is referenced by:  decpmatmul  20491
 Copyright terms: Public domain W3C validator