Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsplit 15711
 Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsplit0.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5 (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decsplit ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit
StepHypRef Expression
1 10nn0 11460 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
2 decsplit0.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
3 decsplit.4 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
41, 3nn0expcli 12826 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℕ0
52, 4nn0mulcli 11275 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℕ0
61, 5nn0mulcli 11275 . . . . 5 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℕ0
76nn0cni 11248 . . . 4 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
8 decsplit.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
91, 8nn0mulcli 11275 . . . . 5 (10 · 𝐵) ∈ ℕ0
109nn0cni 11248 . . . 4 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
11 decsplit.3 . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11248 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
137, 10, 12addassi 9992 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
141nn0cni 11248 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
155nn0cni 11248 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
168nn0cni 11248 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1714, 15, 16adddii 9994 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵))
18 decsplit.6 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
1918oveq2i 6615 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2017, 19eqtr3i 2645 . . . 4 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2120oveq1i 6614 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2213, 21eqtr3i 2645 . 2 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
23 decsplit.5 . . . . . 6 (𝑀 + 1) = 𝑁
244nn0cni 11248 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℂ
2524, 14mulcomi 9990 . . . . . 6 ((10↑𝑀) · 10) = (10 · (10↑𝑀))
261, 3, 23, 25numexpp1 15706 . . . . 5 (10↑𝑁) = (10 · (10↑𝑀))
2726oveq2i 6615 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (𝐴 · (10 · (10↑𝑀)))
282nn0cni 11248 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2928, 14, 24mul12i 10175 . . . 4 (𝐴 · (10 · (10↑𝑀))) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
3027, 29eqtri 2643 . . 3 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
31 dfdec10 11441 . . 3 𝐵𝐷 = ((10 · 𝐵) + 𝐷)
3230, 31oveq12i 6616 . 2 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
33 dfdec10 11441 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
3422, 32, 333eqtr4i 2653 1 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  ℕ0cn0 11236  ;cdc 11437  ↑cexp 12800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator