Theorem decsplit0b 16415

Description: Split a decimal number into two parts. Base case: 𝑁 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
decsplit0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decsplit0b	⊢ ((𝐴 · (;10↑0)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem decsplit0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12115	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2	1	numexp0 16411	. . . 4 ⊢ (;10↑0) = 1
3	2	oveq2i 7166	. . 3 ⊢ (𝐴 · (;10↑0)) = (𝐴 · 1)
4		decsplit0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 11908	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	5	mulid1i 10644	. . 3 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
7	3, 6	eqtri 2844	. 2 ⊢ (𝐴 · (;10↑0)) = 𝐴
8	7	oveq1i 7165	1 ⊢ ((𝐴 · (;10↑0)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  ℕ₀cn0 11896  ;cdc 12097  ↑cexp 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-seq 13369  df-exp 13429

This theorem is referenced by:  decsplit0  16416