Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsplitOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsplitOLD 15710
 Description: Obsolete version of decsplit 15706 as of 9-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
decsplit0OLD.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsplitOLD.2 𝐵 ∈ ℕ0
decsplitOLD.3 𝐷 ∈ ℕ0
decsplitOLD.4 𝑀 ∈ ℕ0
decsplitOLD.5 (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplitOLD.6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decsplitOLD ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplitOLD
StepHypRef Expression
1 10nn0OLD 11262 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
21nn0cni 11249 . . . . 5 10 ∈ ℂ
3 decsplit0OLD.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11249 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
5 decsplitOLD.4 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
6 expcl 12815 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
72, 5, 6mp2an 707 . . . . . 6 (10↑𝑀) ∈ ℂ
84, 7mulcli 9990 . . . . 5 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
92, 8mulcli 9990 . . . 4 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
10 decsplitOLD.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
111, 10nn0mulcli 11276 . . . . 5 (10 · 𝐵) ∈ ℕ0
1211nn0cni 11249 . . . 4 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
13 decsplitOLD.3 . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1413nn0cni 11249 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
159, 12, 14addassi 9993 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
1610nn0cni 11249 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
172, 8, 16adddii 9995 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵))
18 decsplitOLD.6 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
1918oveq2i 6616 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2017, 19eqtr3i 2650 . . . 4 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2120oveq1i 6615 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2215, 21eqtr3i 2650 . 2 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
23 decsplitOLD.5 . . . . . 6 (𝑀 + 1) = 𝑁
247, 2mulcomi 9991 . . . . . 6 ((10↑𝑀) · 10) = (10 · (10↑𝑀))
251, 5, 23, 24numexpp1 15701 . . . . 5 (10↑𝑁) = (10 · (10↑𝑀))
2625oveq2i 6616 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (𝐴 · (10 · (10↑𝑀)))
274, 2, 7mul12i 10176 . . . 4 (𝐴 · (10 · (10↑𝑀))) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
2826, 27eqtri 2648 . . 3 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
29 dfdecOLD 11439 . . 3 𝐵𝐷 = ((10 · 𝐵) + 𝐷)
3028, 29oveq12i 6617 . 2 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
31 dfdecOLD 11439 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
3222, 30, 313eqtr4i 2658 1 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  10c10 11023  ℕ0cn0 11237  ;cdc 11437  ↑cexp 12797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-10OLD 11032  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12739  df-exp 12798 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator