MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsubi 11411
Description: Difference between a numeral 𝑀 and a nonnegative integer 𝑁 (no underflow). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4 𝑀 = 𝐴𝐵
decaddci.5 (𝐴 + 1) = 𝐷
decsubi.5 (𝐵𝑁) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decsubi (𝑀𝑁) = 𝐴𝐶

Proof of Theorem decsubi
StepHypRef Expression
1 10nn0 11344 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
2 decaddi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
31, 2nn0mulcli 11174 . . . 4 (10 · 𝐴) ∈ ℕ0
43nn0cni 11147 . . 3 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
5 decaddi.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
65nn0cni 11147 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
7 decaddi.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ0
87nn0cni 11147 . . 3 𝑁 ∈ ℂ
94, 6, 8addsubassi 10219 . 2 (((10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁) = ((10 · 𝐴) + (𝐵𝑁))
10 decaddi.4 . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
11 dfdec10 11325 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1210, 11eqtri 2627 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1312oveq1i 6533 . 2 (𝑀𝑁) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁)
14 dfdec10 11325 . . 3 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
15 decsubi.5 . . . . 5 (𝐵𝑁) = 𝐶
1615eqcomi 2614 . . . 4 𝐶 = (𝐵𝑁)
1716oveq2i 6534 . . 3 ((10 · 𝐴) + 𝐶) = ((10 · 𝐴) + (𝐵𝑁))
1814, 17eqtri 2627 . 2 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + (𝐵𝑁))
199, 13, 183eqtr4i 2637 1 (𝑀𝑁) = 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  cmin 10113  0cn0 11135  cdc 11321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-dec 11322
This theorem is referenced by:  fmtno5  39808  m5prm  39852  m7prm  39855  m11nprm  39857
  Copyright terms: Public domain W3C validator