MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsuc 11573
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declt.a 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b 𝐵 ∈ ℕ0
decsuc.c (𝐵 + 1) = 𝐶
decsuc.n 𝑁 = 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
decsuc (𝑁 + 1) = 𝐴𝐶

Proof of Theorem decsuc
StepHypRef Expression
1 10nn0 11554 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 declt.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 declt.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decsuc.c . . 3 (𝐵 + 1) = 𝐶
5 decsuc.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 11535 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2673 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
81, 2, 3, 4, 7numsuc 11549 . 2 (𝑁 + 1) = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
9 dfdec10 11535 . 2 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
108, 9eqtr4i 2676 1 (𝑁 + 1) = 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330  cdc 11531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-dec 11532
This theorem is referenced by:  6p5lem  11633  dec2dvds  15814  13prm  15870  19prm  15872  37prm  15875  43prm  15876  139prm  15878  163prm  15879  317prm  15880  1259lem1  15885  1259lem3  15887  1259lem4  15888  1259lem5  15889  2503lem1  15891  2503lem2  15892  2503lem3  15893  2503prm  15894  4001lem1  15895  4001lem2  15896  4001lem3  15897  4001lem4  15898  4001prm  15899  log2ublem3  24720  log2ub  24721  birthday  24726  dpmul4  29750  hgt750lem2  30858  fmtno2  41787  fmtno3  41788  fmtno4  41789  fmtno5lem1  41790  fmtno5lem2  41791  fmtno5lem3  41792  fmtno5lem4  41793  fmtno5  41794  257prm  41798  fmtno4prmfac  41809  fmtno4nprmfac193  41811  fmtno5fac  41819  139prmALT  41836  m7prm  41841  m11nprm  41843
  Copyright terms: Public domain W3C validator