Theorem decsucc 12138

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsucc.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsucc.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
decsucc.3	⊢ 𝑁 = ;𝐴9

Assertion

Ref	Expression
decsucc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐵0

Proof of Theorem decsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 11920	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		9p1e10 12099	. . . 4 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	eqcomi 2830	. . 3 ⊢ ;10 = (9 + 1)
4		decsucc.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5		decsucc.2	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
6		decsucc.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴9
7		dfdec10 12100	. . . 4 ⊢ ;𝐴9 = ((;10 · 𝐴) + 9)
8	6, 7	eqtri 2844	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 9)
9	1, 3, 4, 5, 8	numsucc 12137	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐵) + 0)
10		dfdec10 12100	. 2 ⊢ ;𝐵0 = ((;10 · 𝐵) + 0)
11	9, 10	eqtr4i 2847	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐵0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  9c9 11698  ℕ₀cn0 11896  ;cdc 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-dec 12098

This theorem is referenced by:  sq10e99m1  13624  1259lem3  16465  1259lem4  16466  1259lem5  16467  2503lem2  16470  sqdeccom12  39173  fmtno5lem3  43716  tgoldbachlt  43980