Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1add Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p + = (+g𝑌)
deg1add.l (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
Assertion
Ref Expression
deg1add (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹))

Proof of Theorem deg1add
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . . 4 𝑌 = (Poly1𝑅)
2 deg1addle.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1addle.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1addle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 deg1addle.p . . . 4 + = (+g𝑌)
6 deg1addle.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 deg1addle.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7deg1addle 23772 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
9 deg1add.l . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
102, 1, 4deg1xrcl 23753 . . . . . . 7 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
117, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
122, 1, 4deg1xrcl 23753 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
136, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
14 xrltnle 10052 . . . . . 6 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐺) < (𝐷𝐹) ↔ ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺)))
1511, 13, 14syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝐺) < (𝐷𝐹) ↔ ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺)))
169, 15mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺))
1716iffalsed 4071 . . 3 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
188, 17breqtrd 4641 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷𝐹))
191ply1ring 19540 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
203, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
214, 5ringacl 18502 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
2220, 6, 7, 21syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
23 nltmnf 11910 . . . . . 6 ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷𝐺) < -∞)
2411, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐷𝐺) < -∞)
259adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
26 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (0g𝑌) → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(0g𝑌)))
27 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑌) = (0g𝑌)
282, 1, 27deg1z 23758 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g𝑌)) = -∞)
293, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(0g𝑌)) = -∞)
3026, 29sylan9eqr 2677 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐹) = -∞)
3125, 30breqtrd 4641 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = (0g𝑌)) → (𝐷𝐺) < -∞)
3231ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 = (0g𝑌) → (𝐷𝐺) < -∞))
3332necon3bd 2804 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝐷𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g𝑌)))
3424, 33mpd 15 . . . 4 (𝜑𝐹 ≠ (0g𝑌))
352, 1, 27, 4deg1nn0cl 23759 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑌)) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
363, 6, 34, 35syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
37 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
381, 4, 5, 37coe1addfv 19557 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))))
393, 6, 7, 36, 38syl31anc 1326 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))))
40 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41 eqid 2621 . . . . . . . 8 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
422, 1, 4, 40, 41deg1lt 23768 . . . . . . 7 ((𝐺𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹)) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹)) = (0g𝑅))
437, 36, 9, 42syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹)) = (0g𝑅))
4443oveq2d 6623 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐹))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)))
45 ringgrp 18476 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
463, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
47 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
48 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4947, 4, 1, 48coe1f 19503 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
506, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
5150, 36ffvelrnd 6318 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 37, 40grprid 17377 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
5346, 51, 52syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(+g𝑅)(0g𝑅)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
5439, 44, 533eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) = ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)))
552, 1, 27, 4, 40, 47deg1ldg 23763 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑌)) → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
563, 6, 34, 55syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
5754, 56eqnetrd 2857 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
58 eqid 2621 . . . 4 (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
592, 1, 4, 40, 58deg1ge 23769 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
6022, 36, 57, 59syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
612, 1, 4deg1xrcl 23753 . . . 4 ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
6222, 61syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
63 xrletri3 11932 . . 3 (((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹) ↔ ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷𝐹) ∧ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))))
6462, 13, 63syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹) ↔ ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷𝐹) ∧ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))))
6518, 60, 64mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ifcif 4060   class class class wbr 4615  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  -∞cmnf 10019  ℝ*cxr 10020   < clt 10021   ≤ cle 10022  ℕ0cn0 11239  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  Ringcrg 18471  Poly1cpl1 19469  coe1cco1 19470   deg1 cdg1 23725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-ofr 6854  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-hash 13061  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-mulg 17465  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-subrg 18702  df-psr 19278  df-mpl 19280  df-opsr 19282  df-psr1 19472  df-ply1 19474  df-coe1 19475  df-cnfld 19669  df-mdeg 23726  df-deg1 23727 This theorem is referenced by:  deg1sub  23779
 Copyright terms: Public domain W3C validator