Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldg 23763
 Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 23751 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3 eqid 2621 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2621 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19487 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8 deg1ldg.y . . 3 𝑌 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19477 . . 3 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 23732 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
123, 4, 11ply1mpl0 19547 . . 3 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
132, 3, 7, 8, 9, 10, 12mdegldg 23737 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)))
14 deg1ldg.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (coe1𝐹)
1514fvcoe1 19499 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16153ad2antl2 1222 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17 fveq1 6149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))
19 fvex 6160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏‘∅) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6241 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
2120fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2221adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
2316, 22eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
2423neeq1d 2849 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2524anbi1d 740 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹))))
26 ancom 466 . . . . . 6 (((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
2725, 26syl6bb 276 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
2827rexbidva 3042 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
29 df1o2 7520 . . . . . 6 1𝑜 = {∅}
30 nn0ex 11245 . . . . . 6 0 ∈ V
31 0ex 4752 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3229, 30, 31, 18mapsnf1o2 7852 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
33 f1ofo 6103 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
34 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷𝐹)))
35 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴𝑑))
3635neeq1d 2849 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
3734, 36anbi12d 746 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3837cbvexfo 6502 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
3932, 33, 38mp2b 10 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌))
4028, 39syl6bb 276 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌)))
411, 4, 11, 6deg1nn0cl 23759 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
42 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐹) → (𝐴𝑑) = (𝐴‘(𝐷𝐹)))
4342neeq1d 2849 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐹) → ((𝐴𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4443ceqsrexv 3320 . . . 4 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4541, 44syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷𝐹) ∧ (𝐴𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4640, 45bitrd 268 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)((𝐹𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌))
4713, 46mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908  ∅c0 3893   ↦ cmpt 4675  –onto→wfo 5847  –1-1-onto→wf1o 5848  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  1𝑜c1o 7501   ↑𝑚 cmap 7805  ℕ0cn0 11239  Basecbs 15784  0gc0g 16024  Ringcrg 18471   mPoly cmpl 19275  PwSer1cps1 19467  Poly1cpl1 19469  coe1cco1 19470   deg1 cdg1 23725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-hash 13061  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-mulg 17465  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-psr 19278  df-mpl 19280  df-opsr 19282  df-psr1 19472  df-ply1 19474  df-coe1 19475  df-cnfld 19669  df-mdeg 23726  df-deg1 23727 This theorem is referenced by:  deg1ldgn  23764  deg1ldgdomn  23765  deg1add  23774  deg1mul2  23785  drnguc1p  23841
 Copyright terms: Public domain W3C validator