MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldgn 24050
Description: An index at which a polynomial is zero, cannot be its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y 𝑌 = (0g𝑅)
deg1ldg.a 𝐴 = (coe1𝐹)
deg1ldgn.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1ldgn.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1ldgn.x (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
deg1ldgn.e (𝜑 → (𝐴𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
deg1ldgn (𝜑 → (𝐷𝐹) ≠ 𝑋)

Proof of Theorem deg1ldgn
StepHypRef Expression
1 deg1ldgn.e . 2 (𝜑 → (𝐴𝑋) = 𝑌)
2 fveq2 6350 . . . . . 6 ((𝐷𝐹) = 𝑋 → (𝐴‘(𝐷𝐹)) = (𝐴𝑋))
32adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) = (𝐴𝑋))
4 deg1ldgn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
6 deg1ldgn.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
76adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → 𝐹𝐵)
8 deg1ldgn.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
9 eleq1a 2832 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℕ0 → ((𝐷𝐹) = 𝑋 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷𝐹) = 𝑋 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
1110imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
12 deg1z.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1𝑅)
13 deg1z.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1𝑅)
14 deg1z.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
15 deg1nn0cl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑃)
1612, 13, 14, 15deg1nn0clb 24047 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
174, 6, 16syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
1817adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
1911, 18mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → 𝐹0 )
20 deg1ldg.y . . . . . . 7 𝑌 = (0g𝑅)
21 deg1ldg.a . . . . . . 7 𝐴 = (coe1𝐹)
2212, 13, 14, 15, 20, 21deg1ldg 24049 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
235, 7, 19, 22syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ 𝑌)
243, 23eqnetrrd 2998 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝐹) = 𝑋) → (𝐴𝑋) ≠ 𝑌)
2524ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) = 𝑋 → (𝐴𝑋) ≠ 𝑌))
2625necon2d 2953 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑋) = 𝑌 → (𝐷𝐹) ≠ 𝑋))
271, 26mpd 15 1 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≠ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  cfv 6047  0cn0 11482  Basecbs 16057  0gc0g 16300  Ringcrg 18745  Poly1cpl1 19747  coe1cco1 19748   deg1 cdg1 24011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-sup 8511  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-hash 13310  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-psr 19556  df-mpl 19558  df-opsr 19560  df-psr1 19750  df-ply1 19752  df-coe1 19753  df-cnfld 19947  df-mdeg 24012  df-deg1 24013
This theorem is referenced by:  deg1sublt  24067
  Copyright terms: Public domain W3C validator