MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1leb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1leb 23759
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1leb ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 23744 . . 3 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3 eqid 2621 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 deg1leb.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2621 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1leb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19484 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8 deg1leb.y . . 3 0 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19474 . . 3 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 23725 . . 3 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegleb 23728 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
12 df1o2 7517 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
13 nn0ex 11242 . . . . 5 0 ∈ V
14 0ex 4750 . . . . 5 ∅ ∈ V
15 eqid 2621 . . . . 5 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))
1612, 13, 14, 15mapsnf1o2 7849 . . . 4 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
17 f1ofo 6101 . . . 4 ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
18 breq2 4617 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
19 fveq2 6148 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴𝑥))
2019eqeq1d 2623 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴𝑥) = 0 ))
2118, 20imbi12d 334 . . . . 5 (((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
2221cbvfo 6498 . . . 4 ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
2316, 17, 22mp2b 10 . . 3 (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ))
24 fveq1 6147 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
25 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑦‘∅) ∈ V
2624, 15, 25fvmpt 6239 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
2726fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
2827adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29 deg1leb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (coe1𝐹)
3029fvcoe1 19496 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
3130adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
3228, 31eqtr4d 2658 . . . . . 6 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹𝑦))
3332eqeq1d 2623 . . . . 5 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹𝑦) = 0 ))
3433imbi2d 330 . . . 4 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3534ralbidva 2979 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3623, 35syl5bbr 274 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹𝑦) = 0 )))
3711, 36bitr4d 271 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  c0 3891   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  𝑚 cmap 7802  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  0cn0 11236  Basecbs 15781  0gc0g 16021   mPoly cmpl 19272  PwSer1cps1 19464  Poly1cpl1 19466  coe1cco1 19467   deg1 cdg1 23718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-psr 19275  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-cnfld 19666  df-mdeg 23719  df-deg1 23720
This theorem is referenced by:  deg1lt  23761  deg1tmle  23781
  Copyright terms: Public domain W3C validator