MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul2 23778
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t · = (.r𝑃)
deg1mul2.z 0 = (0g𝑃)
deg1mul2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul2.fz (𝜑𝐹0 )
deg1mul2.fc (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul2.gz (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 deg1mul2.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1mul2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1mul2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 deg1mul2.t . . 3 · = (.r𝑃)
6 deg1mul2.fb . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
7 deg1mul2.gb . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
8 deg1mul2.fz . . . 4 (𝜑𝐹0 )
9 deg1mul2.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
102, 1, 9, 4deg1nn0cl 23752 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
113, 6, 8, 10syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
12 deg1mul2.gz . . . 4 (𝜑𝐺0 )
132, 1, 9, 4deg1nn0cl 23752 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
143, 7, 12, 13syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
1511nn0red 11296 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
1615leidd 10538 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
1714nn0red 11296 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
1817leidd 10538 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 16, 18deg1mulle2 23773 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
201ply1ring 19537 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
213, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
224, 5ringcl 18482 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2321, 6, 7, 22syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2411, 14nn0addcld 11299 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0)
25 eqid 2621 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 5, 25, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 12coe1mul4 23764 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))))
27 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 eqid 2621 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
292, 1, 9, 4, 27, 28deg1ldg 23756 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
303, 7, 12, 29syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
31 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
32 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3328, 4, 1, 32coe1f 19500 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
347, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3534, 14ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
36 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3736, 32, 25, 27rrgeq0i 19208 . . . . . . 7 ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3831, 35, 37syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3938necon3d 2811 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)))
4030, 39mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
4126, 40eqnetrd 2857 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
42 eqid 2621 . . . 4 (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
432, 1, 4, 27, 42deg1ge 23762 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4423, 24, 41, 43syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
452, 1, 4deg1xrcl 23746 . . . 4 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4623, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4724nn0red 11296 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
4847rexrd 10033 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*)
49 xrletri3 11929 . . 3 (((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5046, 48, 49syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5119, 44, 50mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604   + caddc 9883  *cxr 10017  cle 10019  0cn0 11236  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  RLRegcrlreg 19198  Poly1cpl1 19466  coe1cco1 19467   deg1 cdg1 23718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-rlreg 19202  df-psr 19275  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-cnfld 19666  df-mdeg 23719  df-deg1 23720
This theorem is referenced by:  ply1domn  23787  ply1divmo  23799  fta1glem1  23829  mon1psubm  37262  deg1mhm  37263
  Copyright terms: Public domain W3C validator