Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul3 23779
 Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul3.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul3.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul3.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3.t · = (.r𝑃)
deg1mul3.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (𝐷𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2rrgss 19211 . . . . . . 7 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
43sseli 3579 . . . . . 6 (𝐹𝐸𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
5 deg1mul3.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 deg1mul3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 deg1mul3.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8 deg1mul3.t . . . . . . 7 · = (.r𝑃)
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 19571 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r𝑅)(coe1𝐺)))
114, 10syl3an2 1357 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r𝑅)(coe1𝐺)))
1211oveq1d 6619 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) = (((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r𝑅)(coe1𝐺)) supp (0g𝑅)))
13 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
14 nn0ex 11242 . . . . . 6 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
16 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17 simp2 1060 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐹𝐸)
18 eqid 2621 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
1918, 6, 5, 2coe1f 19500 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
20193ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
211, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20rrgsupp 19210 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r𝑅)(coe1𝐺)) supp (0g𝑅)) = ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
2212, 21eqtrd 2655 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) = ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
2322supeq1d 8296 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
245ply1ring 19537 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25243ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
265, 7, 2, 6ply1sclf 19574 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
27263ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
2843ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
2927, 28ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ 𝐵)
30 simp3 1061 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
316, 8ringcl 18482 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
3225, 29, 30, 31syl3anc 1323 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
33 deg1mul3.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
34 eqid 2621 . . . 4 (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))
3533, 5, 6, 13, 34deg1val 23760 . . 3 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3632, 35syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3733, 5, 6, 13, 18deg1val 23760 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
38373ad2ant3 1082 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3923, 36, 383eqtr4d 2665 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4148   × cxp 5072  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848   supp csupp 7240  supcsup 8290  ℝ*cxr 10017   < clt 10018  ℕ0cn0 11236  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  RLRegcrlreg 19198  algSccascl 19230  Poly1cpl1 19466  coe1cco1 19467   deg1 cdg1 23718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-rlreg 19202  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-vr1 19470  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-cnfld 19666  df-mdeg 23719  df-deg1 23720 This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  23815  ig1peu  23835
 Copyright terms: Public domain W3C validator