Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1n0ima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1n0ima 23830
 Description: Degree image of a set of polynomials which does not include zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1n0ima (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)

Proof of Theorem deg1n0ima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eldifi 3724 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
32adantl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
4 eldifsni 4311 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
54adantl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
6 deg1z.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1𝑅)
7 deg1z.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 deg1z.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
9 deg1nn0cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
106, 7, 8, 9deg1nn0cl 23829 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
111, 3, 5, 10syl3anc 1324 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
1211ralrimiva 2963 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
136, 7, 9deg1xrf 23822 . . . 4 𝐷:𝐵⟶ℝ*
14 ffun 6035 . . . 4 (𝐷:𝐵⟶ℝ* → Fun 𝐷)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 Fun 𝐷
16 difss 3729 . . . 4 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
1713fdmi 6039 . . . 4 dom 𝐷 = 𝐵
1816, 17sseqtr4i 3630 . . 3 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ dom 𝐷
19 funimass4 6234 . . 3 ((Fun 𝐷 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷𝑥) ∈ ℕ0))
2015, 18, 19mp2an 707 . 2 ((𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
2112, 20sylibr 224 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∀wral 2909   ∖ cdif 3564   ⊆ wss 3567  {csn 4168  dom cdm 5104   “ cima 5107  Fun wfun 5870  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  ℝ*cxr 10058  ℕ0cn0 11277  Basecbs 15838  0gc0g 16081  Ringcrg 18528  Poly1cpl1 19528   deg1 cdg1 23795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-psr 19337  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-psr1 19531  df-ply1 19533  df-cnfld 19728  df-mdeg 23796  df-deg1 23797 This theorem is referenced by:  ig1peu  23912  ig1pdvds  23917
 Copyright terms: Public domain W3C validator